**[[.:00-inicio|Uso da Linguagem R para Análise de Dados em Ecologia]]**



====== 3. Funções Matemáticas e Estatísticas ====== 

===== O R como uma Potente Calculadora =====

==== Operações Aritméticas Básicas ====

A linha de comando do R funciona como uma potente calculadora.  Todas operações aritméticas
e funções matemáticas principais estão disponíveis. Exemplo:

<code>
> 4 + 9
[1] 13
> 4 - 5
[1] -1
> 4 * 5
[1] 20
> 4 / 5
[1] 0.8
> 4^5
[1] 1024
>
</code>

A notação básica de operações algébricas, como a aplicação hierárquica de parênteses,
também pode ser utilizada:
<code>
> (4 + 5 ) * 7 - (36/18)^3
[1] 55
> (2 * ( 2 * ( 2 * (3-4))))
[1] -8
>
</code>

Note que somente os parênteses podem ser utilizados nas expressões matemáticas.  As chaves ("{}") e os colchetes ("[]") têm outras funções no R:
<code>
> (2 * { 2 * [ 2 * (3-4)]})
Error: syntax error in "(2 * { 2 * ["
>
</code>

Por que o R é uma **potente** calculadora?  Experimente fazer a seguinte operação matemática na sua calculadora:
<code>
> 1 - (1 + 10^(-15))
</code>


=== Exercícios ===

<box left red | **Exercício: //Estimador de Pollard//**>

Pollard (1971) propôs o seguinte estimador para estimar a densidade no método de
quadrantes:

<latex>
	\widehat{N}_p = \frac{4(4n-1)}{\pi \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^4 r_{ij}^2}
</latex>

onde, <latex> r_{ij} </latex> é a distância de árvore do quadrante //j// no 
ponto //i// ao centro do ponto quadrante e //n// é o número de pontos quadrantes.

A variância desse estimador é:

<latex>
	\textrm{Var}\{ \widehat{N}_p \} =  \frac{\widehat{N}_p}{4n-2}.
</latex>

Se o valor da soma do quadrado das distâncias for:

<latex>
	\sum_{i=1}^{30}\sum_{j=1}^4 r_{ij}^2} = 2531.794
</latex>

qual a densidade estimada e sua variância?

</box>


<box left red | **Exercíco: //Área transversal de uma Árvore//** >

A área transversal de uma árvore é calculada assumindo que a secção transversal
do tronco à altura do peito (1,3m) é perfeitamente circular.
Se o diâmetro à altura do peito (DAP) de uma árvore for 13.5cm, qual
a área transversal?

Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual
a sua área transversal?

</box>













==== Funções Matemáticas Comuns ====

As funções matemáticas comuns também estão disponíveis e podem ser aplicadas diretamente na linha de comando:
<code>
> sqrt(9)   # Raiz Quadrada
[1] 3
> abs( - 1 )  # Módulo ou valor absoluto
[1] 1
> abs( 1 )
[1] 1
> log( 10 )   # Logaritmo natural ou neperiano
[1] 2.302585
> log( 10, base = 10) # Logaritmo base 10
[1] 1
> log10(10)   # Também logaritmo de base 10
[1] 1
> log( 10, base = 3.4076) # Logaritmo base 3.4076
[1] 1.878116
> exp( 1 )       # Exponencial
[1] 2.718282
>
</code>

As funções trigonométricas:
<code>
> sin(0.5*pi)    # Seno
[1] 1
> cos(2*pi)      # Coseno
[1] 1
> tan(pi)        # Tangente
[1] -1.224647e-16
>
> asin(1)       # Arco seno (em radianos)
[1] 1.570796
> asin(1) / pi * 180
[1] 90
>
> acos(0)      # Arco coseno (em radianos)
[1] 1.570796
> acos(0) / pi * 180
[1] 90
> atan(0)    # Arco tangente (em radianos)
[1] 0
> atan(0) / pi * 180
[1] 0
>
</code>

Funções para arredondamento:
<code>
> ceiling( 4.3478 )
[1] 5
> floor( 4.3478 )
[1] 4
> round( 4.3478 )
[1] 4
> round( 4.3478 , digits=3)
[1] 4.348
> round( 4.3478 , digits=2)
[1] 4.35
>
</code>


Funções matemáticas de especial interesse estatístico:
<code>
> factorial( 4 )         # Fatorial de 4
[1] 24
> choose(10, 3)          # Coeficientes binomiais: combinação de 10 3-a-3
[1] 120
>  
</code>


=== Exercícios ===

<box left red | **Exercíco: //Área transversal de uma Árvore (Revisitado)//** >

Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual
o diâmetro (único) que é equivalente à sua área transversal?

</box>


<box left red | **Exercício: //Cálculo da Biomassa de Árvores do Cerrado//**>

O modelo alométrico de biomassa ajustado para árvores do Cerradão
estabele que a biomassa é dada pela expressão:

<latex>
      \widehat{b_i} = \exp(-1.7953) \, d_i^{2.2974} 
</latex>

onde <latex> b_i </latex> é a biomassa em //kg// e
<latex> d_i </latex> é o DAP em //cm//.

Já um outro modelo para biomassa das árvores na 
mesma situação tem a forma:

<latex>
        \widehat{\ln(b_i)} = -2.6464 + 1.9960 \ln(d_i) } + 0.7558 \ln(h_i) 
</latex>

onde <latex> h_i </latex> é a altura das árvores em //m//.

Para uma árvore com DAP de 15//cm// e altura de 12//m//, os
modelos resultarão em estimativas muito distintas?
</box>







==== Mantendo a Coerência Lógica-Matemática ====


O R também lida com operações matemáticas que envolvem **elementos infinitos** e **elementos indeterminados**:
<code>
> 1/0
[1] Inf
> -5/0
[1] -Inf
> 500000000000000000/Inf
[1] 0
> 0/0
[1] NaN
> Inf/Inf
[1] NaN
> log(0)
[1] -Inf
> exp(-Inf)
[1] 0
> sqrt(Inf)
[1] Inf
> sqrt( - 1 )
[1] NaN
Warning message:
NaNs produced in: sqrt(-1)
> 2 * NA
[1] NA
> 2 * NaN
[1] NaN
> NA / 10
[1] NA
> NaN / -1
[1] NaN
>
</code>

Note que determinadas **palavras** (além do nome das funções) estão reservadas no R, pois são utilizadas com significado especial:
  * ''pi'' - constante <latex>\pi = 3.141593 </latex>;
  * ''Inf'' - infinito;
  * ''NaN'' - indeterminado (Not a Number), normalmente resultado de uma operação matemática indeterminada;
  * ''NA'' - indeterminado (Not Avaiable), normalmente caracterizando uma observação perdida (//missing value//).


Na operações matemáticas, ''NaN'' e ''NA'' atuam sempre como **indeterminado**.


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício Conceitual:** O que é uma Observação Perdida//>

Como se caracteriza uma **observação perdida**?

Quando o diâmetro de uma árvore deve ter o valor **zero** ou o valor **NA**?

E o peso de um animal?  E a biomassa de uma florestal?  E a espécie de uma ave?

</box>






==== Criando Variáveis ====

Mais do que simples operações aritméticas,  o R permite que executemos operações **algébricas** operando sobre variáveis prédefinidas.

Para definir uma variável, basta escolher um nome (//lembre-se das regras de nomes no R//) e atribuir a ela um valor:
<code>
>
> a = 3.6
> b = sqrt( 35 )
> c = -2.1
> a
[1] 3.6
> b
[1] 5.91608
> c
[1] -2.1
>
> a * b / c
[1] -10.14185
> b^c
[1] 0.02391820
> a + exp(c) - log(b)
[1] 1.944782
>  
> a - b * c / d
Error: object "d" not found
>          
</code>

Não esqueça de definir as variáveis previamente!!


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício Conceitual:** Criando Variáveis com Nomes Reservados// >

O que acontece se você criar uma variável com o nome ''pi''?  Por exemplo, 
<code>
> pi = 10
</code>
O que acontece com a constante <latex>\pi</latex>?

E se for criada uma constante de nome ''sqrt''?  O que acontece com a função raíz quadrada (''sqrt()'')?

**DICA:** O que faz a função ''search'', no comando:
<code>
> search()
</code>
</box>





==== Sinais de Atribuição ====

Um **detalhe importante** em linguagens de programação é diferenciar um **sinal de igualdade** de um **sinal de atribuição**.

O sinal de igualdade faz uma comparação entre dois elementos.  No R o sinal de igualdade é **"=="** e será visto em detalhes quando a questão de comparações for tratada.

O R possui vários sinais de atribuição.  No tópico acima utilizamos o sinal '''=''', mas o mesmo efeito pode ser obtido por dois outros meios:
   * o sinal **"<****-"** (composto pelo sinal de menor **"<"** seguido do hífen **"-"**) atribui o valor **à direita** ao elemento **à esquerda**: 
<code>
> k <- 2.46
> k
[1] 2.46
</code>

   *o sinal **"-****>"** (composto pelo hífen **"-"** seguido do sinal de maior **">"**) atribui o valor **à esquerda** ao elemento **à direita**:
<code>
> 2.46 -> k2
> k2
[1] 2.46
>  
</code>

Essas três formas de atribuir valores a variáveis são equivalentes e cada usuário trabalha com a forma que julgar mais conveniente.


===== O R como uma Calculadora Vetorial =====





==== Criando Vetores ====


O R, e a linguagem S, foram criados para operar não apenas //número-a-número// como uma calculadora convencional.

O R é um ambiente **vetorial**,  isto é, quase todas suas operações atua sobre uma //seqüência de números//, 
que genericamente chamaremos de vetores.

Para criar um vetor, podemos usar a função ''c'' (c = colar, concatenar).  Essa função simplesmente cola todos
os argumentos dados a ela, formando um vetor:
<code>
> a = c(1, 10, 3.4, pi, pi/4, exp(-1), log( 2.23 ), sin(pi/7) )
> a
[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016  0.4338837
> 
</code>


Para criar vetores de números com intervalo fixo unitário (intervalo de 1) se utiliza o //operador seqüencial// ('':''):
<code>
> b = 1:8
> b
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8
> c = 20:32
> c
 [1] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
> d = 2.5:10
> d
[1] 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5
</code>

Uma forma mais flexível de criar seqüências de números (inteiros ou reais) é usando a função '''seq''':
<code>
> seq(10, 30)
 [1] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
> seq(10, 30, by=2)
 [1] 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
> seq(1.5, 7.9, length=20)
 [1] 1.500000 1.836842 2.173684 2.510526 2.847368 3.184211 3.521053 3.857895
 [9] 4.194737 4.531579 4.868421 5.205263 5.542105 5.878947 6.215789 6.552632
[17] 6.889474 7.226316 7.563158 7.900000
</code>

Também é fácil criar uma seqüência de números repeditos utilizando a função '''rep''':
<code>
> rep(5, 3)
[1] 5 5 5
> rep(1:5, 3)
 [1] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
> rep(1:5,each=3)
 [1] 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
>
</code>


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício:** Palmeira com Muitos Fustes I//>

Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.

Crie um vetor '''dap''' com os diâmetros acimas e uma seqüência que enumera os fustes.

</box>





==== Vetores: Operações Matemáticas  ====

Todas operações matemáticas aplicadas sobre um vetor, serão aplicadas sobre cada elemento desse vetor:
<code>
> 2 * a
[1]  2.0000000 20.0000000  6.8000000  6.2831853  1.5707963  0.7357589  1.6040032
[8]  0.8677675
> sqrt( a )
[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
[8] 0.6586985
>
> log( a )
[1]  0.0000000  2.3025851  1.2237754  1.1447299 -0.2415645 -1.0000000 -0.2206447
[8] -0.8349787
>             
</code>

Se as variáveis que trabalhamos são vetores, operações matemáticas entre variáveis serão realizadas
pareando os elementos dos vetores:
<code>
> a* b
[1]  1.000000 20.000000 10.200000 12.566371  3.926991  2.207277  5.614011
[8]  3.471070
> a - b
[1]  0.0000000  8.0000000  0.4000000 -0.8584073 -4.2146018 -5.6321206 -6.1979984
[8] -7.5661163
> a^(1/b)
[1] 1.0000000 3.1622777 1.5036946 1.3313354 0.9528356 0.8464817 0.9689709
[8] 0.9008898
>  
> sqrt( a )
[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
[8] 0.6586985
> log( b )
[1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1.6094379 1.7917595 1.9459101
[8] 2.0794415
>             
</code>

Nesse tipo de operação é importante termos clareza sobre o que pretendemos quando fazemos uma operação matemática entre dois vetores de comprimentos (''length'') diferentes:
<code>
> length( a )
[1] 8
> length( b )
[1] 8
> length( c )
[1] 13
> a * c
 [1]  20.000000 210.000000  74.800000  72.256631  18.849556   9.196986
 [7]  20.852041  11.714861  28.000000 290.000000 102.000000  97.389372
[13]  25.132741
Warning message:
longer object length
        is not a multiple of shorter object length in: a * c
>     
</code>


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício:** Palmeira com Muitos Fustes II//>

Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.

Calcule a área transversal de cada fuste dessa palmeira.

</box>



<box left red | //**Exercício:** Bits e Bytes//>
Como construir uma seqüência que representa o aumento do número
de bits por byte de computador, quando se dobra o tamanho dos bytes?

Essa seqüência numérica parte do 2 e dobra os valores a cada passo.
</box>







==== Vetores: Operações Estatísticas  ====

Operações matemática sobre vetores, opera //elemento-a-elemento// do vetor.  Já as funções estatísticas operam no vetor **como um todo**:
<code>
> mean( a )
[1] 2.491344
> var( b )
[1] 6
> max( c )
[1] 32
> sd( a )
[1] 3.259248
> sum( c )
[1] 338
> min( b )
[1] 1
> range( c )
[1] 20 32
>      
</code>

Algumas funções úteis que não são estatísticas, mas operam no vetor são:
<code>
> a
[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016
[8]  0.4338837
> sort(a)
[1]  0.3678794  0.4338837  0.7853982  0.8020016  1.0000000  3.1415927  3.4000000
[8] 10.0000000
> rev(sort(a))
[1] 10.0000000  3.4000000  3.1415927  1.0000000  0.8020016  0.7853982  0.4338837
[8]  0.3678794
> cumsum(sort(a))
[1]  0.3678794  0.8017632  1.5871613  2.3891629  3.3891629  6.5307556  9.9307556
[8] 19.9307556
> cumsum(a)
[1]  1.00000 11.00000 14.40000 17.54159 18.32699 18.69487 19.49687 19.93076
>
> diff(a)
[1]  9.0000000 -6.6000000 -0.2584073 -2.3561945 -0.4175187  0.4341221 -0.3681178
> diff( seq(10, 34, length=15) )
 [1] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
 [9] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
> 
</code>


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício:** Palmeira com Muitos Fustes III//>

Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7.

Encontre para essa palmeira as seguintes medidas:
  - a área transversal total (área basal) da palmeira (//g//);
  - o diâmetro médio dos fustes (<latex>\overline{d}</latex>);
  - o desvio padrão dos diâmetros (//s//);

Como podemos representar essa palmeira com vários fustes por uma única medida de diâmetro?
Calculemos a área transversal a partir de três opções:

A) A partir do diâmetro total, ou soma dos diâmetros:

<latex>
           g_A = \frac{\pi}{4} \left( 10\,\overline{d} \right)^2
</latex>

B) A partir do diâmetro médio e o número de fustes:

<latex>
           g_B = 10\, \frac{\pi}{4} \left( \overline{d} \right)^2
</latex>

C) A partir do diâmetro médio e do desvio padrão:

<latex>
           g_C = \frac{\pi}{4} \left( (10)\overline{d}^2 + (10-1)s^2 \right)
</latex>

Quais dessas opções se aproxima do valor correto de área basal (//g//)?
</box>






==== As Funções no R  ====

Já foi visto que ao se digitar o nome de uma função na linha de comando, o R retorna o **código** da função. Veja a diferença de:
<code>
> ls()
</code>
para:
<code>
> ls
</code>


A maioria das funções precisa de certas **informações** para orientar o seu procedimento, tais informações são chamados de **argumentos**.  

Os argumentos de qualquer função são detalhadamente explicados nas páginas de ajuda sobre a função.  Mas para uma rápida consulta dos argumentos de uma função podemos usar a função '''args''':
<code>
> args(ls)
function (name, pos = -1, envir = as.environment(pos), all.names = FALSE,
    pattern)
NULL
> args(q)
function (save = "default", status = 0, runLast = TRUE)
NULL
> args(save.image)
function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
    safe = TRUE)
NULL
>    
</code> 

Algumas funções, entretanto, são primitivas ou internas e seus argumentos não são apresentados.  Geralmente, nesses casos os argumentos  são bastante óbvios:
<code>
> args(sin)
NULL
> sin
.Primitive("sin")
>
</code>

Outras funções simplesmente não possuem argumentos:
<code>
> args(getwd)
function ()
NULL
> getwd
function ()
.Internal(getwd())
<environment: namespace:base>
>                                
</code>


Ao observar o resultado da função '''args''', você notará que alguns argumentos são seguindos de uma expressão que se inicia com o sinal de igualdade ('''=''').  A expressão após o sinal de igualdade é chamada de **valor default** do argumento.   Se o usuário não informar o valor para um dado argumento, a função usa o valor default.  Como exemplo veja a função '''save.image''':
<code>
> args(save.image)
function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
    safe = TRUE)
NULL
> 
</code>

Se o usuário simplesmente evocar a função '''save.image()''', sem informar o nome do arquivo onde á área de trabalho deve ser gravada, o R gravará as informações num arquivo com nome '''.RData'''.



=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício:** Argumentos de Funções Estatísticas //>
Quais são os argumentos (e seus valores default) das seguintes funções:
  * **mean**,
  * **sd**,
  * **range**, e
  * **cumsum**.
</box>


<box left red | //**Exercício:** Argumentos de Funções de Uso Comum //>
Quais são os argumentos (e seus valores default) das funções:
  * **sort**,
  * **log**, e
  * **seq**.

O que é o argumento **". . ."**?
</box>


===== Distribuições Estatísticas: Funções no R =====


Sendo um ambiente para análise de dados, o R dispõe de um grande conjunto de funções para trabalhar com //Distribuições Estatísticas//.  Essas funções ajudam não só na análise de dados, como também permitem a //simulação// de dados.

==== Distribuição Normal ====

A distribuição Normal é a distribuição central da teoria estatística. Para gerar uma amostra de observações de uma distribuição normal utilizamos a função '''rnorm''':
<code>
> args( rnorm )
function (n, mean = 0, sd = 1)
NULL
> vn1 = rnorm( 1000, mean = 40,  sd = 9 )
> mean( vn1 )
[1] 39.47248
> sd( vn1 )
[1] 8.523735
> range( vn1 )
[1] 14.93126 62.11959
>
> vn2 = rnorm( 100000, mean = 40,  sd = 9 )
> mean( vn2 )
[1] 40.02547
> sd( vn2 )
[1] 9.025218
> range( vn2 )
[1]  3.40680 78.25496
>     
</code>

Se quisermos saber a //probabilidade acumulada// até um certo valor de uma variável com distribuição normal utilizamos a função '''pnorm''':
<code>
> args(pnorm )
function (q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
NULL
>
> pnorm( 1.96, mean = 0 , sd = 1 )
[1] 0.9750021
> pnorm( 1.96 )
[1] 0.9750021
>
> pnorm( 27, mean = 20, sd = 7 )
[1] 0.8413447
> pnorm( 13, mean = 20, sd = 7 )
[1] 0.1586553
> 
</code>


Se quisermos obter o valor de um //quantil// da distribuição normal utilizamos a função '''qnorm''':
<code>
> args( qnorm )
function (p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
NULL
> qnorm( 0.90 )
[1] 1.281552
> qnorm( 0.30 )
[1] -0.5244005
>
> qnorm( 0.90, 20, 7)
[1] 28.97086
> qnorm( 0.30, 20, 7)
[1] 16.32920
>  
</code>

A função '''dnorm''' fornece a //densidade probabilística// para cada valor de uma variável Normal:
<code>
> args( dnorm )
function (x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
NULL
> x = seq(-4, 4, length=10000)             # Seqüência de -4 a 4 com 10.000 valores
>
> plot(x, dnorm(x))                        # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 1
> points(x, dnorm(x, sd=2))                # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 2 (adicionada ao gráfico)
>
</code>



=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício:** Amplitude Normal//>

Tomando uma variável que segue a Distribuição Normal, o que acontence com a //amplitude de variação// dos dados à medida que o tamanho da amostra cresce (por exemplo n= 100, 1000, 10000)?

</box>


<box left red | //**Exercício:** Intervalo Normal I //>
Qual o intervalo da Distribuição Normal Padronizada que têm a média no centro e contem 50% das observações?
</box>

<box left red | //**Exercício:** Intervalo Normal II //>
Qual a probabilidade de uma observação da variável Normal Padronizada estar no intervalo [-1.96 , 1.96]?
</box>

==== As Funções que Operam em Distribuições Estatísticas ====

O que foi apresentado para Distribuição Normal pode ser generalizado para todas as distribuições que o R trabalha.

Há quatro funções para se trabalhar com distribuições estatísticas:
  * **d**//distrib// - retorna a //densidade probabilística// para um dado valor da variável;
  * **p**//distrib// - retorna a //probabilidade acumulada// para um dado valor da variável;
  * **q**//distrib// - retorna o //quantil// para um dado valor de probabilidade acumulada;
  * **r**//distrib// - retorna //valores// (números aleatórios) gerados a partir da distribuição;

No caso da Distribuição Normal: //distrib// = ''norm''.  Para outras distribuições temos:

<box 35% orange centered | **DISTRIBUIÇÕES ESTATÍSTICAS NO R**>
^ Distribuição ^ Nome no R ^ Parâmetros((os argumentos de cada função incluem estes parãmetros, entre outras coisas)) ^
| beta 	       | beta      | shape1, shape2, ncp |
| binomial     | binom     | size, prob |
| Cauchy       | cauchy    | location, scale |
| qui-quadrado | chisq     | df, ncp |
| exponential  | exp       | rate |
| F            | f         | df1, df2, ncp |
| gamma        | gamma     | shape, scale |
| geométrica   | geom      | prob |
| hypergeométrica | hyper  | m, n, k |
| log-normal   | lnorm     | meanlog, sdlog |
| logística    | logis     | location, scale |
| binomial negativa | nbinom     | size, prob |
| normal       | norm      | mean, sd |
| Poisson      | pois      | lambda |
| t de Student | t         | df, ncp |
| uniforme     | unif      | min, max |
| Weibull      | weibull   | shape, scale |
| Wilcoxon     | wilcox    | m, n  |
</box>


=== Exercícios ===

<box left red | //**Exercício:** Teste t //>
Você realizou um teste //t// de Student bilateral e obteve o valor //t = 2.2// com 19 graus de liberdade.  

O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%?   E se o valor observado fosse //t = 1.9//?
</box>


<box left red | //**Exercício:** Teste F //>
Você realizou um teste //F// e obteve o valor //F = 2.2// com 19 graus de liberdade no numerador e 24 graus de liberdade no denominador.  

O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%?   E se o valor observado fosse //F = 2.5//?
</box>


<box left red | //**Exercício:** Padrão Espacial I //>
Gere duas amostras (p.ex.: //x// e //y//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Uniforme.

Faça um gráfico plotando uma amostra contra a outra (''plot(x,y)'').  Qual o padrão espacial observado?

Você consegue explicá-lo?
</box>


<box left red | //**Exercício:** Padrão Espacial II //>
Gere duas amostras (p.ex.: //xp// e //yp//) de tamanho 10 (n=10) de números da distribuição Uniforme.

Gere duas amostras (p.ex.: //xf// e //yf//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Normal com média zero e desvio padrão 0.2)

Faça um gráfico plotando a soma das amostras X (//xp+xf//) contra a soma das amostras Y (//yp+yf//) (''plot(xp+xf,yp+yf)'').

Qual o padrão espacial observado?  Você consegue explicá-lo?
</box>

<box left red red | //**Exercício:** Gráfico Quantil-Quantil //>
Construa uma seqüência **ordenada** de 1000 números entre 0 e 1:
<code>
> p = seq(0, 1, length=1000)
</code>
O vetor '''p''' representa um vetor de probabilidades acumuladas.

Gere 1000 números aleatórios da distribuição Normal Padronizada e coloque os números em ordem:
<code>
> x = sort( rnorm(1000) )
</code> 

Faça um gráfico dos quantis da distribuição Normal, tomando o vetor '''p''' de probabilidades, contra os valores de '''x''':
<code>
> plot( qnorm(p), x )
</code>

Como é o gráfico resultante?  

Repita o mesmo processo para as distribuições Exponencial ( '''rexp''' ) e Lognormal ( '''rlnorm''' ).  Como são os gráficos resultantes? Por que?
</box>


<box left red | //**Exercício:** Padrão Temporal //>
Suponha que terremotos ocorram de forma completamente aleatória no decorrer do tempo.

Qual a melhor distribuição estatística para representar o **intervalo de tempo** entre dois terremotos **sucessivos**?
</box>