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biometria:verossim:06-teor

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biometria:verossim:06-teor [2022/11/24 14:21] (atual) – criada - edição externa 127.0.0.1
Linha 1: Linha 1:
 +^[[start|Modelos Estatísticos: Abordagem da Verossimilhança]]^
 +\\
 +<html>
 +      <font face="Times New Roman" size="5" align="center">
 +       9. Fundamentos Teóricos da Inferência por Verossimilhança
 +      </font>
 +</html>
 +
 +\\
 +
 +====== Conceitos ======
 +   * Lei da Verossimilhança 
 +   * Princípio da Verossimilhança
 +   * Suporte para Inferência Estatística
 +
 +
 +====== Tutorial ======
 +
 +
 +
 +===== Lei da Verossimilhança =====
 +
 +Como já foi visto no [[biometria:verossim:02-veros|tutorial]] sobre a Função de Verossimihança, a
 +Lei da Verossimilhança pode ser enunciada da seguinte forma:
 +
 +Dada uma variável aleatória $$X$$, cujo comportamento pode ser explicado por duas hipóteses: $$H_A$$ e $$H_B$$.
 +
 +  * A hipótese $$H_A$$ afirma que a observação $$X=x$$ seria observada com probabilidade $$p_A(x)$$.
 +  * A hipótese $$H_B$$ afirma que a observação $$X=x$$ seria observada com probabilidade $$p_B(x)$$.
 +
 +A observação $$X=x$$ é uma evidência em favor de $$H_A$$ **vis-a-vis** (face-a-face) $$H_B$$
 +se, e somente se, 
 +
 +$$p_A(x) > p_B(x)$$.
 +
 +A **força de evidência** em favor de $$H_A$$ vis-a-vis $$H_B$$ é dada pela **razão de verossimilhança**:
 +
 +$$ \frac{p_A(x)}{p_B(x)}$$.
 +
 +
 +==== A Observação Empírica comanda a Lei da Verossimilhança ====
 +
 +
 +=== Hipóteses sobre Valores do Parâmetro de um Modelo ===
 +
 +Tomemos o exemplo de um laboratório que realizou o seguinte experimento: um certo produto foi ministrado a $$20$$ cobaias para se comparar duas hipóteses: 
 +  *  $$H_A$$ a probabilidade do produto causar a morte é $$p = 0.5$$
 +  *  $$H_B$$ a probabilidade do produto causar a morte é $$p = 0.3$$
 +
 +Um ponto importante é que a observação do número de cobaias mortas é que irá definir qual hipótese é favorecida e
 +qual hipótese é desfavorecida. 
 +
 +Vejamos as probabilidades que a hipótese $$H_A$$ estabelece para cada uma das observações possíveis (1, 2, ..., 20):
 +<code>
 +> pa = dbinom(0:20, 20, prob=0.5)
 +> barplot(pa, width=1, space=0.1, col="blue")
 +> axis(1, 1, label=0:20, at=0:20*1.1+(1.1/2) )
 +</code>
 +
 +No caso da hipótese $$H_B$$ temos:
 +<code>
 +> pb = dbinom(0:20, 20, prob=0.3)
 +> barplot(pb, width=1, space=0.1, col="red")
 +> axis(1, 1, label=0:20, at=0:20*1.1+(1.1/2) )
 +</code>
 +
 +A Razão de Verossimilhança para as observações possíveis pode ser facilmente obtida:
 +<code>
 +> raz <- pa/pb
 +> barplot(raz, width=1, space=0.1, col="darkgreen")
 +> axis(1, 1, label=0:20, at=0:20*1.1+(1.1/2) )
 +</code>
 +
 +A escala da Razão de Verossimilhança pode facilmente nos confundir.  É melhor olharmos a Razão de Verossimilhança em termos da diferença da Log-Verossimilhança Negativa (com a indicação da Razão de 8, como limite definidor):
 +<code>
 +> barplot(-log(raz), width=1, space=0.1, col="darkgreen")
 +> axis(1, 1, label=0:20, at=0:20*1.1+(1.1/2) )
 +> abline( h = c(log(8), -log(8)), col="red", lty=2 )
 +</code>
 +
 +Como a transformação inclui a mudança de sinal, a interpretação é que os valores positivos favorecem a hipótese $$H_B$$, enquanto que os valores negativos favorecem a hipótese $$H_A$$.
 +
 +**Resultado:**
 +   * O número de cobaias mortas no experimento definirá qual das duas hipóteses é mais plausível.
 +   * Algumas observações favorecerão $$H_A$$ (11 ou mais mortes), outras $$H_B$$ (6 ou menos).  Outras ainda não nos permitirão distinguir qual das duas é mais plausível (entre 7 e 10).
 +
 +**CONCLUSÃO:** 
 +  * Definido o modelo de trabalho, **os dados** são a única evidência para definir qual a hipótese é mais plausível.  
 +  * A evidência nem sempre é **conclusiva**.
 +
 +
 +
 +
 +=== Hipóteses sobre Modelos Diferentes ===
 +
 +Os dados também indicam, através da verossimilhança, qual o modelo mais plausível numa situação de comparação.  O arquivo {{:biometria:verossim:caxeta-3parcelas.csv|caxeta-3parcelas.csv}} tem os dados de DAP (diâmetro à altura do peito) de árvores em três parcelas instaladas em "caixetais" na região do Vale do Ribeira (São Paulo). 
 +
 +Comparemos a distribuição Weibull e a distribuição Gama, como modelos para a distribuição do DAP em cada uma das parcelas.
 +
 +Primeiramente ler os dados e carregar o pacote "''MASS''" que possui a função "''fitdistr''" para ajuste de distribuições por máxima verossimilhança:
 +<code>
 +> cax3p = read.csv("caxeta-3parcelas.csv",header=T,as.is=T,sep=";")
 +> library(MASS)
 +</code>
 +
 +O segundo passo é ajustar os modelos (Weibull e Gama) para cada parcela. 
 +<code>
 +> # Ajuste da Dist. Weibull para as três parcelas
 +> weib1 = fitdistr( cax3p$dap[ cax3p$parcela==1 ] - 47, "weibull", start=list(shape=1, scale=10) )
 +> weib2 = fitdistr( cax3p$dap[ cax3p$parcela==2 ] - 47, "weibull", start=list(shape=1, scale=10) )
 +> weib3 = fitdistr( cax3p$dap[ cax3p$parcela==3 ] - 47, "weibull", start=list(shape=1, scale=10) )
 +
 +> # Ajuste da Dist. Gamma para as três parcelas
 +> gamm1 = fitdistr( cax3p$dap[ cax3p$parcela==1 ] - 47, "gamma", start=list(shape=1, scale=10) )
 +> gamm2 = fitdistr( cax3p$dap[ cax3p$parcela==2 ] - 47, "gamma", start=list(shape=1, scale=10) )
 +> gamm3 = fitdistr( cax3p$dap[ cax3p$parcela==3 ] - 47, "gamma", start=list(shape=1, scale=10) )
 +</code>
 +
 +
 +Comparação dos modelos nas parcelas uma a uma:
 +<code>
 +> # Comparação Parcela 1
 +> hist( cax3p$dap[ cax3p$parcela==1 ], prob = TRUE )
 +> curve( dweibull(x, shape=weib1$estimate["shape"] , scale=weib1$estimate["scale"]), 40, 250, col="red", add=TRUE)
 +> curve( dgamma(x, shape=gamm1$estimate["shape"] , scale=gamm1$estimate["scale"]), 40, 250, col="blue", add=TRUE)
 +> AIC(weib1) - AIC(gamm1)
 +
 +> # Comparação Parcela 2
 +> hist( cax3p$dap[ cax3p$parcela==2 ], prob = TRUE )
 +> curve( dweibull(x, shape=weib2$estimate["shape"] , scale=weib2$estimate["scale"]), 40, 400, col="red", add=TRUE)
 +> curve( dgamma(x, shape=gamm2$estimate["shape"] , scale=gamm2$estimate["scale"]), 40, 400, col="blue", add=TRUE)
 +> AIC(weib2) - AIC(gamm2)
 +
 +> # Comparação Parcela 3
 +> hist( cax3p$dap[ cax3p$parcela==3 ], prob = TRUE )
 +> curve( dweibull(x, shape=weib3$estimate["shape"] , scale=weib3$estimate["scale"]), 40, 400, col="red", add=TRUE)
 +> curve( dgamma(x, shape=gamm3$estimate["shape"] , scale=gamm3$estimate["scale"]), 40, 400, col="blue", add=TRUE)
 +> AIC(weib3) - AIC(gamm3)
 +
 +</code>
 +
 +
 +**Questões:**
 +  * Qual o modelo mais plausível em cada parcela?
 +  * O modelo mais plausível é sempre o mesmo em todas as parcelas?
 +  * É possível discriminar o modelo mais plausível em todas as parcelas?
 +  * A diferença de plausibilidade entre os modelos segundo o AIC é compatível com as diferenças observadas nos gráficos?
 +
 +
 +===== Princípio da Verossimilhança =====
 +
 +O **Princípio da Verossimilhança** estabelece que a **Função de Verossimilhança** contem **TODA** evidência contida nos dados a respeito de uma dada hipótese (valor de parâmetro ou modelo).   Assim, a **Razão de Verossimilhança** representa sempre a mesma força de evidência na comparação de duas hipóteses, independentemente do conjunto de dados utilizado ou das hipóteses sendo comparadas.
 +
 +
 +==== Dois Métodos com a Mesma Evidência ====
 +
 +Voltemos ao exemplo da aplicação de um produto em cobaias para verificar a taxa de mortalidade.  Nesse caso temos dois laboratórios que testaram o produto:
 +  * __Laboratório 1:__ Aplicou o produto em 20 cobaias das quais 6 morreram.
 +  * __Laboratório 2:__ Foi aplicando o produto em várias cobaias, com a determinação que quando a sexta morte ocorresse o experimento terminaria.  A vigésima cobaia a receber o produto foi a sexta a morrer.
 +
 +A questão principal agora é saber qual o valor mais plausível para o parâmetro $$p$$, que indica a probabilidade de morte das cobaias.
 +
 +Vejamos as curvas de verossimilhança para nos dois laboratórios:
 +
 +<code>
 +> p = seq(0.01, 0.99, by=0.01)
 +> lik.binom = dbinom(6, 20, p)     # Lab 1: dist. Binomial
 +> lik.nbinom = dnbinom(14, 6, p)   # Lab 2: dist. Binomial Negativa
 +> plot(p, lik.binom, type="l", ylab="Verossimilhança", col="blue")
 +> lines(p, lik.nbinom, col="red")
 +</code>
 +
 +Aparentemente as curvas não são as mesmas.  Mas devemos nos lembrar que o **Princípio da Verossimilhança** generaliza a **Razão de Verossimilhança**.  Portanto devemos apresentar a curva de **Verossimilhança Relativa** (( //Verossimilhança Normalizada//, na terminologia de Edwards)), que obtemos dividindo cada valor de verossimilhança pelo máximo:
 +<code>
 +> lik.binom = lik.binom / max(lik.binom)
 +> lik.nbinom = lik.nbinom / max(lik.nbinom)
 +> plot(p, lik.binom, type="l", ylab="Verossimilhança Relativa", col="blue", lwd=8)
 +> lines(p, lik.nbinom, col="red", lwd=2)
 +</code>
 +
 +
 +**CONCLUSÕES:** 
 +    - As curvas de verossimilhança (relativa/normalizada) são idênticas nos dois laboratórios, mostrando que a observação de 6 cobaias mortas em 20 representa **exatamente** a mesma evidência empírica a respeito do valor mais plausível do parâmetro $$p$$, independentemente de como os dados foram gerados.
 +  - Portanto, **o espaço amostral é irrelevante**, uma vez definidos os modelos concorrentes e observado o dado.
 +    - Curvas de **Verossimilhança Relativa** (ou //Verossimilhança Normalizada//) representam a força de evidência a favor das MLE (estimativas de máxima verossimilhança) contra todos os demais valores possíveis, independentemente dos dados utilizados ou do modelo considerado.
 +    - Consequentemente, **Intervalos de Verossimilhança**  (para razão de 8, por exemplo) tem exatamente a mesma interpretação, independentemente dos dados utilizados ou do modelo considerado.
 +
 +
 +==== Força de Evidência e Tamanho de Amostra ====
 +
 +Consideremos o mesmo exemplo das cobaias, mas comparemos o primeiro laboratório com outros dois laboratórios que possuem mais recursos para o experimento:
 +  * __Laboratório 1:__ Aplicou o produto em 20 cobaias das quais 6 morreram.
 +  * __Laboratório 2:__ Aplicou o produto em 200 cobaias das quais 60 morreram.
 +  * __Laboratório 3:__ Aplicou o produto em 2000 cobaias das quais 600 morreram.
 +
 +Vejamos as curvas de verossimilhança desses 3 laboratórios:
 +<code>
 +> p = seq(0.01, 0.99, by=0.01)
 +> lik.binom1 = dbinom(6, 20, p)         # Lab 1: dist. Binomial
 +> lik.binom2 = dbinom(60, 200, p)       # Lab 2: dist. Binomial
 +> lik.binom3 = dbinom(600, 2000, p)     # Lab 3: dist. Binomial
 +> plot(p, lik.binom1, type="l", ylab="Verossimilhança", col="blue")
 +> lines(p, lik.binom2, col="red")
 +> lines(p, lik.binom3, col="green")
 +</code>
 +
 +Vejamos as curvas de verossimilhança **RELATIVA** desses 3 laboratórios:
 +<code>
 +> lik.binom1 = lik.binom1/ max(lik.binom1)
 +> lik.binom2 = lik.binom2/ max(lik.binom2)
 +> lik.binom3 = lik.binom3/ max(lik.binom3)
 +> plot(p, lik.binom1, type="l", ylab="Verossimilhança Relativa", col="blue")
 +> lines(p, lik.binom2, col="red")
 +> lines(p, lik.binom3, col="green")
 +</code>
 +
 +Façamos um //"zoom"// na curva de log-verossimilhança negativa relativa na vizinhaça da MLE:
 +<code>
 +> nlik.binom1 = -log(lik.binom1)
 +> nlik.binom2 = -log(lik.binom2)
 +> nlik.binom3 = -log(lik.binom3)
 +> plot(p, nlik.binom1, type="l", ylab="Log-Veros. Neg. Relativa", col="blue", xlim=c(0.2,0.4))
 +> lines(p, nlik.binom2, col="red")
 +> lines(p, nlik.binom3, col="green")
 +</code>
 +
 +**Questões:**
 +   * A **curva de verossimilhança** é sensível ao tamanho da amostra? Como?
 +   * A **curva de verossimilhança RELATIVA** é sensível ao tamanho da amostra? Como?
 +   * A **força de evidência** em favor do MLE aumenta com o tamanho da amostra? Por que?
 +   * Qual o impacto do tamanho da amostra sobre o **intervalo de verossimilhança**? Por que?
 +
 +
 +
 +
 +===== Suporte para Inferência Estatística =====
 +
 +A consequência **imediata** da combinação da Lei e do Princípio da Verossimilhança é que a função de verossimilhança, ou mais especificamente a //função de log-verossimilhança negativa//  é  o **suporte necessário e suficiente** à construção da inferência estatística:
 +  * Por **suporte** entende-se a base **teórica** e **empírica** para se construir e implementar a inferência estatística.
 +  * Como suporte **necessário** entende-se que qualquer inferência não baseada nesse suporte não é apropriada.
 +  * como suporte **suficiente** entende-se que nada mais é necessário à inferência estatística além desse suporte.
 +
 +
 +==== Suporte para Inferência sobre Parâmetros ====
 +
 +Partindo de um modelo assumido como apropriado, qualquer inferência sobre os parâmetros do modelo, ou //funções desses parâmetros// pode ser realizada tendo a função de log-verossimilhança negativa como suporte.
 +
 +Voltemos ao exemplo da distribuição de DAP no caxaixetal (parcela 2):
 +<code>
 +> hist( cax3p$dap[ cax3p$parcela==2 ], prob = TRUE )
 +> curve(dweibull(x, shape=weib2$estimate["shape"], scale=weib2$estimate["scale"]), 40, 400, col="red", add=TRUE)
 +</code>
 +
 +
 +== Inferência sobre os Parâmetros ==
 +
 +
 +Vejamos a superfície de log-verossimilhança negativa relativa para inferência sobre os parâmetros:
 +
 +  * Criando a função vetorizada:
 +<code>
 +> lweibull = function(forma, escala) -sum(dweibull( cax3p$dap[ cax3p$parcela==2 ]-47, shape=forma, scale=escala, log=TRUE))
 +> vlweibull = Vectorize( lweibull, c("forma","escala") )
 +</code>
 +
 +  * Definido a amplitude de variação dos parâmetros:
 +<code>
 +> forma = seq(0.5, 2.5, by=0.05)
 +> escala = seq( 50, 100, by=0.5 )
 +</code>
 +
 +  * Calculando a superfície de log-veros. neg. relativa:
 +<code>
 +> sup.weibull = outer( forma, escala, vlweibull )
 +> sup.weibull = sup.weibull - min(sup.weibull)
 +</code>
 +
 +  * Construindo o gráfico de contorno da superfície:
 +<code>
 +> contour(forma, escala, sup.weibull, xlab="Forma", ylab="Escala", col="purple", levels=c(5,10,20,40,80,120))
 +</code>
 +
 +  * Marcando a posição das MLE com linhas tracejadas:
 +<code>
 +> abline(v=weib2$estimate[1], col="red", lty=2)
 +> abline(h=weib2$estimate[2], col="red", lty=2)
 +</code>
 +
 +  * Marcando a região referente à razão de verossimilhança de 8:
 +<code>
 +> contour(forma, escala, sup.weibull, levels=log(8), labels="log(8)", add=T, col="darkgreen" )
 +</code>
 +
 +
 +== Inferência sobre a Média ==
 +
 +Na distribuição Weibull a média (valor esperado) é definido em função dos parâmetros da seguinte forma:
 +$$ \mu = \beta \  \Gamma(  (\gamma + 1) / \gamma )$$.
 +onde:
 +  * $$\beta$$ é o parâmetro de escala;
 +  * $$\gamma$$ é o parâmetro da forma; e
 +  * $$\Gamma(\cdot)$$ é a função gama.
 +
 +Assim podemos construir uma superfície para inferência sobre a Média:
 +
 +  * Cálculo da superfície dos valores da média:
 +<code>
 +> mean.weibull = function(c, b) (b*gamma( (c+1)/c )+47)/10
 +> sup.mean = outer(forma, escala, mean.weibull)
 +</code>
 +
 +  * Gráfico da superfície da média, com a posição das MLE dos parâmetros:
 +<code>
 +> contour(forma, escala, sup.mean, col="darkgreen", xlab="Forma", ylab="Escala",levels=seq(8,18,by=1))
 +> abline(v=weib2$estimate[1], col="red", lty=2)
 +> abline(h=weib2$estimate[2], col="red", lty=2)
 +</code>
 +
 +  * Região de razão de verossimilhança (8) e linha da média amostral:
 +<code>
 +> contour(forma, escala, sup.weibull, levels=log(8), labels="log(8)", add=T, col="red" )
 +>contour(forma, escala, sup.mean, levels=mean(dap)/10, col="red", add=T)
 +</code>
 +
 +
 +== Inferência sobre Quantis da Distribuição ==
 +
 +Na distribuição Weibull os quantis podem ser determinados a partir da função inversa da função de distribuição:
 +$$d_p = \beta\ ( \log( 1 / (1-p) ) )^(1/\gamma)$$,
 +onde:
 +  * $$p$$ é a probabilidade que se deseja o quantil, por exemplo 0.95 (95%);
 +  * $$\beta$$ e $$\gamma$$ parâmetros de escala e forma, respectivamente.
 +
 +Para construir a superfície para inferência sobre o quantil 95% basta seguir os mesmos passos da construção da superfície sobre a méida:
 +<code>
 +> dap95.weibull = function(c, b) (b*( log(1/(1-0.95)) )^(1/c) + 47)/10
 +> sup.dap95 = outer(forma, escala, dap95.weibull)
 +> contour(forma, escala, sup.dap95, col="darkseagreen", levels=c(seq(15,25,by=1),seq(30,60,by=10)))
 +> abline(v=weib2$estimate[1], col="red", lty=2)
 +> abline(h=weib2$estimate[2], col="red", lty=2)
 +> contour(forma, escala, sup.weibull, levels=log(8), labels="log(8)", add=T, col="red" )
 +</code>
 +
 +
 +
 +
 +== Questões ==
 +
 +  * O que representa a superfície de log-verossimilhança negativa relativa dos parâmetros?
 +  * O que se pode inferir (estatisticamente) a partir dela?
 +  * O que representa a superfície de valores da média a partir dos parâmetros?
 +  * O que se pode inferir (estatisticamente) dessa superfície?
 +  * O que representa a superfície de valores do quantil 95% a partir dos parâmetros?
 +  * O que se pode inferir (estatisticamente) dessa superfície?
 +
 +
 +
 +==== Suporte  para Inferência sobre Modelos ====
 +
 +A inferência sobre modelos consiste na comparação dos modelos dois-a-dois através da razão de verossimilhança.  
 +
 +É comum se utilizar o "//Akaike Information Criterion//" (AIC) como forma de comparação de modelos, sendo que além de considerar a verossimilhança do modelo ele penaliza o número de parâmetros no modelo.
 +
 +Elementos que tornam essa abordagem mais simples para inferência sobre modelos quando comparada à abordagem "//frequentista//"  ou "//bayesiana//" são:
 +   * Não há restrições a respeito do número de modelos ou como eles são formulados (com ou sem inspeção dos dados).
 +   * A log-verossimilhança é //aditiva//, portanto, os modelos podem ser comparados para a amostra como um todo ou para sub-conjuntos dessa.
 +   * Para comparação entre modelos é irrelevante quais (ou quantas) variáveis foram utilizadas como variáveis preditoras/explicativas ou como elas são incorporadas ao modelo.
 +
 +
 +=== Comparando Modelos nos Dados Sub-divididos ou Agregados ===
 +
 +Voltemos ao exemplo das 3 parcelas em caxetais.  Foram ajustados as distribuições Weibull e gama **para cada uma das parcelas**.  Assim, podemos usar o AIC para uma comparação **parcela-a-parcela**
 +<code>
 +> aj1 = cbind( logLik(weib1), logLik(weib2), logLik(weib3)) 
 +> aj2 = cbind( logLik(gamm1), logLik(gamm2), logLik(gamm3)) 
 +> llik.mod = -rbind(aj1, aj2)
 +> dimnames(llik.mod) = list( c("Weibull","Gamma"), paste("parcela", 1:3))
 +> llik.mod
 +> apply(llik.mod, 2, diff)
 +> aic.mod = 2*llik.mod + 2*2
 +> apply( aic.mod, 2, diff )
 +</code>
 +
 +Podemos pensar no conjunto dos três ajustes como um só modelo para as três parcelas, com seis parâmetros. Como a log-verossimilhança é aditiva, o AIC para este modelo combinado é a soma do AICs dos modelos componentes:
 +<code>
 +> aj.g = matrix(apply( aic.mod, 1, sum ), ncol=1)
 +> dimnames(aj.g) = list( c("Weibull", "Gamma"), "Combinado" )
 +> aic.mod = cbind(aic.mod, aj.g)
 +> aic.mod
 +> apply(aic.mod, 2, diff )
 +</code>
 +
 +Um modelo mais parcimonioso para as três parcelas seria ajustar um só modelo para os **dados agregados**.
 +<code>
 +> weib.agr = fitdistr( cax3p$dap - 47, "weibull", start=list(shape=1, scale=10) )
 +> gamm.agr = fitdistr( cax3p$dap - 47, "gamma", start=list(shape=1, scale=10) )
 +> aj.agr = matrix( c(AIC(weib.agr), AIC(gamm.agr)), ncol=1)
 +> dimnames(aj.agr) = list( c("Weibull", "Gamma"), "Agregado" )
 +> aic.mod = cbind(aic.mod, aj.agr)
 +> aic.mod
 +> apply(aic.mod, 2, diff )
 +</code>
 +
 +
 +**Questões:**
 +   * Quais as diferenças na comparação dos modelos nos níveis:
 +       - parcela-a-parcela,
 +       - combinado,
 +       - agregado?
 +   * A fundamentação teórica muda ao se realizar comparações nos diferentes níveis?
 +   * Com os resultados obtidos é possível testar se a melhor abordagem de modelagem é ter um modelo para cada parcela ou ter um modelo para os dados agregados?  Como?
 +
 +
 +===== Inferência por Verossimilhança e Inferência Frequentista =====
 +
 +
 +==== Inferência de Intervalo ====
 +
 +Na abordagem //frequentista// a inferência de intervalo é realizada através do **Intervalo de Confiança**.
 +
 +O intervalo de confiança apela para o conceito de probabilidade **a longo prazo** que implica na repetição
 +ilimitada do procedimento utilizado para gerar os dados, como se os dados fossem uma amostra de uma população **infinita** de observações possíveis.  Dessa forma a construção do intervalo de confiança segue os seguintes passos:
 +  - definir o **parâmetro de interesse**,
 +  - encontrar uma **estatística** que pode ser um estimador do parâmetro ou uma transformação do estimador; 
 +  - definir a **distribuição amostral** dessa estatística, isto é, qual seria a distribuição da estatística se fosse possível repetir a amostra infinitas vezes;
 +  - construir um intervalo para a estatística com base nessa distribuição amostral;
 +  - converter esse intervalo de volta à escala do parâmetro de interesse.
 +
 +=== Exemplo de Árvores Doentes em Floresta Plantada ===
 +
 +Considere que numa plantação de //Eucalyptus grandis// foram amostradas aleatoriamente 100 árvores, sendo que dessas 37 se mostraram infectadas por uma certa doença.  O objetivo é estimar a taxa de ocorrência da doença com estimativa de intervalo de confiança.
 +
 +Pela distribuição binomial a MLE da taxa de ocorrência é:
 +
 +$$ \hat{p} = \frac{37}{100} = 0.37$$.
 +
 +e o erro padrão dessa estimativa é:
 +
 +$$ \hat{\sigma} = [ \frac{p (1 - p)}{n} ]^{1/2} = [ \frac{ 0.37 (1 - 0.37) }{100} ]^{1/2} = 0.04828043$$.
 +
 +
 +Utilizando a //aproximção normal// para grandes amostras ($$n \geq 30$$) sabemos que a estatística
 +
 +$$ \hat{z} = \frac{ \hat{p}  - p }{ \hat{sigma}_p } $$
 +
 +tem distribuição amostral igual à distribuição Normal padronizada (média zero e desvio padrão um).
 +
 +Assim, um intervalo com probabilidade 95% para essa estatística é:
 +
 +$$ P( z_{0.025} \leq \hat{z} \leq z_{0.975} ) = 0.95 $$
 +
 +$$ P( -1.96 \leq \hat{z} \leq 1.96 ) = 0.95$$
 +
 +$$ P( -1.96 \leq \frac{ \hat{p} - p }{\hat{\sigma}} \leq 1.96 ) = 0.95 $$
 +
 +$$ P( \hat{p} -1.96 \hat{\sigma} \leq p \leq \hat{p} + 1.96 \hat{\sigma} ) = 0.95 $$
 +
 +Assim o intervalo de confiança de 95% para estimativa da taxa de ocorrência de doença $$\hat{p}$$ é:
 +
 +$$  \hat{p} \pm 1.96 \sigma  =  0.37 \pm (1.96) (0.04828043) = 0.37 \pm 0.09462964 $$.
 +
 +
 +** Intervalo de Verossimilhança **
 +
 +O intervalo de verossimilhança (para razão 8, por exemplo) é obtido inspecionando a vizinhança da MLE $$\hat{p}$$ na curva de verossimilhança:
 +<code>
 +> p = seq(0.20, 0.50, length=100)
 +> lik = dbinom(37, 100, p)
 +> lik = lik / max(lik)
 +> plot(p, lik, type="l", col="red")
 +> abline(h=1/8, lty=2, col="blue")
 +</code>
 +
 +
 +=== Segundo Exemplo de Árvores Doentes ===
 +
 +Suponha agora que a amostra aleatória de árvores de 100 árvores foi obtida, mas nenhuma das árvores se mostrou doente.  Isso indica que a ocorrência de doença é rara e, consequentemente, a taxa de infestação é muito pequena, próxima de zero.
 +
 +Estimativa da taxa: $$\hat{p} = 0 / 100 = 0$$
 +
 +Erro padrão da estimativa: $$\hat{\sigma} = [ (0 (1 - 0))/ 100 ]^{1/2} = 0$$
 +
 +Como utilizar a aproximação normal nesse caso?  Não é possível obter um intervalo de confiança de 95% por essa abordagem.  Uma nova abordagem, com outra estatística e outra distribuição amostral, deverá ser concebida.
 +
 +
 +O que muda no intervalo de verossimilhança? Absolutamente nada:
 +<code>
 +> p = seq(0.0, 0.05, length=100)
 +> lik = dbinom(0, 100, p)
 +> lik = lik / max(lik)
 +> plot(p, lik, type="l", col="red")
 +> abline(h=1/8, lty=2, col="blue")
 +> abline(v=0, lty=2, col="red")
 +</code>
 +
 +
 +==== Teste de Hipótese ====
 +
 +A forma de teste de hipótese de uso mais geral na estatística frequentista é o o **teste de significância**.
 +
 +Essa abordagem consiste em enunciar duas hipóteses:
 +   * Hipótese nula: que estabelece um valor específico para o parâmetro sendo testado.
 +   * Hipótese alternativa: que deve ser //complementar// à hipótese nula.
 +
 +O teste de significância segue os seguintes passos:
 +  * Define-se uma estatística e se deduz a distribuição amostral dessa estatística **sob a hipótese nula**, isto é, assumindo a hipótese nula como verdadeira.   
 +  * Com esta distribuição calcula-se, então, o **valor-p** que é a probabilidade de se observar o valor observado da estatística **ou um valor mais extremo** sob a hipótese nula.   
 +  * Compara-se o valor-p com o **nível de significância** previamente definido.  
 +  * Se o valor-p for menor que o nível de significância, rejeita-se a hipótese nula em favor da hipótese alternativa.
 +
 +
 +
 +=== Exemplo dos Dois Laboratórios ===
 +
 +Voltemos ao exemplo da aplicação de um produto em cobaias para verificar a taxa de mortalidade com os dois laboratórios:
 +  * __Laboratório 1:__ Aplicou o produto em 20 cobaias das quais 6 morreram.
 +  * __Latoratório 2:__ Foi aplicando o produto em várias cobaias, com a determinação que quando a sexta morte ocorresse o experimento terminaria.  A vigésima cobaia a receber o produto foi a sexta a morrer.
 +
 +A questão agora é testar as seguintes hipóteses:
 +  * Hipótese Nula:  $$p = 0.5$$.
 +  * Hipótese Alternativa:  $$p \leq 0.5$$.
 +
 +Laboratório A: o modelo deste experimento é uma distribuição binomial. A probabilidade de obter seis **ou menos** mortes em 20 tentativas sob a hipótese de que $$p=0.5$$ é dada pela probabilidade acumulada da binomial:
 +<code>
 +> pbinom(q=6, size=20, prob=0.5)
 +</code>
 +
 +Laboratório B: o modelo do experimento é uma distribuição binomial negativa. A probabilidade de obter seis mortes em 20 **ou mais** tentativas é:
 +<code>
 +> 1 - pnbinom(q=14, size=6, prob=0.5)
 +</code>
 +
 +**Conclusão:** Tomando-se o **nivel de significância de 5% (0.05)**, o   __laboratório A__ não rejeitaria a hipótese nula, mas o __laboratório B__ a rejeitaria.
 +
 +Mesmo nível de significância e mesmos dados, mas conclusões diferentes.
 +
 +Na inferência por verossimilhança, como vimos,  os dois laboratório tem exatamente a mesma curva de verossimilhança e, portanto, a evidência estatística também:
 +<code>
 +> p = seq(0.01, 0.99, by=0.01)
 +> lik.binom = dbinom(6, 20, p)     # Lab 1: dist. Binomial
 +> lik.binom = lik.binom / max(lik.binom)
 +> lik.nbinom = dnbinom(14, 6, p)   # Lab 2: dist. Binomial Negativa
 +> lik.nbinom = lik.nbinom / max(lik.nbinom)
 +> plot(p, lik.binom, type="l", ylab="Verossimilhança Relativa", col="blue", lwd=8)
 +> lines(p, lik.nbinom, col="red", lwd=2)
 +</code>
 +
 +Entretanto, não seria apropriado estabelecer as hipóteses na forma
 +  * hipotese A: $$p = 0.5$$ contra 
 +  * hipótese B: $$p \leq 0.5$$.
 +
 +Pois a hipótese A indica um ponto na curva enquanto que a hipótese B indica uma região.
 +
 +
 +
 +====== Recursos para Estudo ======
 +
 +===== Na Internet =====
 +
 +   * [[http://www.cimat.mx/reportes/enlinea/D-99-10.html|"Likelihood"]]: Uma palestra de A. W. F. Edwards 
 +   * {{:biometria:verossim:edwards-1999.pdf|"Likelihood"}}: A mesma palestra de A.W.F. Edwards no formato PDF.
 +  * Berger, J.O. & Wolpert, R.L. 1984. [[http://projecteuclid.org/euclid.lnms/1215466210|The likelihood principle.]]Lecture Notes--IMS Monograph Series, Volume 6.
 +  * Página do filósofo [[http://philosophy.wisc.edu/sober/index.html|Elliot Sober]], com vários artigos sobre a fundamentação lógica das diferentes abordagens estatísticas.
 +  * Página do filósofo [[http://philosophy.wisc.edu/forster/|Malcom Foster]], especialista em epistemologia da ciências quantitativas, e que tem várias análises críticas do papel de ajuste de modelos nestas.