São chamados modelos lineares aqueles que apresentam uma relação entre variáveis que seja linear nos parâmetros. Essa linearidade implica que matematicamente a variação de cada um dos parâmetros é independente dos demais parâmetros do modelo.

Em termos gerais, podemos reconhecer dois grandes grupos clássicos de modelos lineares:

• Modelos de Regressão.
• Modelos de Análise de Variância.

Nesse tópico utlizaremos os arquivos de dados:

• Levantamento em caixetais: caixeta.csv,
• Dados de biomassa de árvores: esaligna.csv.
• Inventário em florestas plantadas: egrandis.csv.
• Experimento sobre o crescimento de mudas em viveiro. altura-mudas.csv.

Os modelos lineares de regressão são utilizados para modelar a relação entre variáveis quantitativas:

• Variável Resposta (y): variável quantitativa (também chamada de variável dependente).
• Variáveis Preditoras (x): variáveis quantitativas (também chamadas de variáveis independentes).

A função utilizada para construir modelos lineares de regressão é a função 'lm' que tem os seguintes argumentos principais:

            lm( formula, data, weights, subset, na.action )

• 'formula' - é uma fórmula estatística que indica o modelo a ser ajustado. Possui a mesma forma básica que foi vista na funções gráficas.
• 'data' - o conjunto de dados (data.frame).
• 'weights' - são os pesos para regressão ponderada.
• 'subset' - um vetor com as condições que definem um sub-conjunto dos dados.
• 'na.acation' - função que especifica o que fazer no caso de observações perdidas (NA). O valor default é 'na.omit' que elimina as linhas (observações) que possuem observações perdidas nas variáveis definidas na fórmula.

Vejamos um exemplo simples:

> egr = read.csv("egrandis.csv",header=T)
> egr[1,]
    especie rot   regiao  inv faz proj talhao parcela arv fuste cap ht hdom
1 E.grandis   1 Botucatu 1995  36   33      1       1   1     1  57 27   NA
    idade carac      dap
1 7.49315     N 18.14366
>
> hipso1 = lm( ht ~ dap, data=egr )
> class(hipso1)
[1] "lm"
>  

O argumento fórmula nos modelos lineares é bastante diverso das fórmulas matemáticas usuais. Nesse argumento, sinais de mais e de menos, símbolos como circunfexo (^) e asterísco (*) têm significado bastante diferente dos significados usuais matemáticos.

Apresentaremos agora alguns aspectos básicos do argumento:

• 'y ~ x' indica: modele y como função estatística de x;
• 'y ~ x1 + x2' indica: modele y como função estatística das variáveis x1 e x2 (efeito aditivo dos modelos lineares);

Se quisermos utilizar os símbolos matemáticos no sentido matemático usual dentro de uma fórmula estatística, temos que utilizar a função 'I()':

• ' y ~ I( x1^2 * x2^3 )' indica: modele y como função estatística da variável (x1^2 * x2^3);
• ' y ~ I( x1 / x2 )' indica: modele y como função estatística da variável (x1/x2);

No caso de utilizarmos funções matemáticas específicas a função 'I()' torna-se desnecessária:

• 'log(y) ~ log(x)' indica: modele o log(y) com função estatística da variável log(x));
• 'log(y) ~ log(x1^2 * x2)' indica: modele o log(y) com função estatística da variável log(x1^2 * x2));

Mais detalhes sobre o argumento 'formula' serão apresentados mais adiante.

<box 100% left red | Exercício: Relação Diâmetro-Altura em Florestas Plantadas > Ajuste um modelo de regressão linear simples da altura (ht) em função do DAP (dap) das árvores de floresta plantada (dados-egrandis) para cada uma das rotações (rot). </box>

<box 100% left red | Exercício: Equação de Biomassa para Árvores de Eucalyptus saligna > Utilizando o conjunto de dados de E. Saligna (dados-esaligna), construa um modelo de regressão da biomassa do tronco das árvores (tronco') em função do diâmetro (dap) e altura (ht), utizando dois modelos:

<latex>

              b_i = \beta_0 + \beta_1 (d_i^2\, h_i) + \varepsilon_i

</latex>

e

<latex>

        \ln( b_i ) = \beta_0 + \beta_1 \ln(d_i) + \beta_2 \ln(h_i) + \varepsilon_i

</latex>

onde:

• <latex>b_i</latex> é biomassa do tronco;
• <latex>d_i</latex> é o DAP da árvore;
• <latex>h_i</latex> é a altura toral da árvore;

</box>

O objeto produzido pela função 'lm' tem classe 'lm' (linear model), ou seja é um modelo linear. Como modelo linear, esse objeto receberá tratamento particular se utilizarmos algumas funções básicas sobre ele.

• summary: a função 'summary' apresenta um resumo do modelo linear com:
  1. estatísticas descritivas dos resíduos;
  2. teste t dos coeficientes de regressão;
  3. erro padrão da estimativa;
  4. coeficiente de determinação e coef. de det. ajustado;
  5. teste F geral do modelo.

> summary( hipso1 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-12.9306  -2.1109  -0.5408   1.6642  20.9390

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.79604    0.12120   6.568 5.63e-11 ***
dap          1.27232    0.01006 126.459  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 3.093 on 4800 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.7691,     Adjusted R-squared: 0.7691
F-statistic: 1.599e+04 on 1 and 4800 DF,  p-value: < 2.2e-16

• anova: a função 'anova' apresenta a Tabela de análise de variância, tendo as variáveis preditoras como fatores:

> anova( hipso1 )
Analysis of Variance Table

Response: ht
            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
dap          1 153020  153020   15992 < 2.2e-16 ***
Residuals 4800  45929      10
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

• plot: a função 'plot' apresenta uma série de gráficos para análise do modelo. Ela possui o argumento 'which' que define quais dos seis gráficos pré-definidos se deseja ver:

O valor default do argumento which é 'which = c(1:3, 5)'.

> plot( hipso1 )
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
> 

• coef: a função 'coef' retorna os coeficientes de regressão do modelo linear:

> coef( hipso1 )
(Intercept)         dap
  0.7960402   1.2723242
> 

* residuals: a função 'residuals' (também pode ser evocada por 'resid') retorna os resíduos do modelo linear. * fitted: a função 'fitted' (também pode ser evocada por 'fitted.values') retorna os valores ajustados do modelo linear.

> plot( resid( hipso1 ), fitted( hipso1 ) )

* predict: a função 'predict' retorna os valores preditos para novas observações:

> predict( hipso1, data.frame( dap=c(10,50,100) ) )
        1         2         3
 13.51928  64.41225 128.02846
>
> predict( hipso1, data.frame( dap=range(egr$dap) ) )
        1         2
 6.060955 38.055431
>       

<box 100% left red | Exercício: Analisando os Modelos de Regressão > Utilizando as funções apresentadas acima analise os modelos de regressão construídos nos exercícios anteriores com relação a:

1. adequação das pressuposições dos modelos lineares;
2. significância das estimativas dos coeficientes de regressão;
3. qualidade dos modelos para uso em predições.

</box>

<box 100% left red | Exercício: Realizando Predições > Considere as árvores da tabela abaixo:

Faça a predição da biomassa do tronco das árvores com base nos dois modelos de equação de biomassa ajustados. </box>

A regressão ponderada é utilizada para corrigir o problema de heterogeneidade de variâncias.

Consideremos o exercício do modelo de equação de biomassa do tronco em função do diâmetro e altura. O modelo original apresenta claramente problemas com a pressuposição de homogeneidade de variâncias:

> esa = read.csv("esaligna.csv",header=T)
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2 * ht), data=esa ) , which=c(1,3) )
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
>

Se o modelo for ponderado por uma potência do inverso da variável preditora ( 1/(dap^2 * ht) ), talvez se torne um modelo com variância homogênea.

> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^0.5 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^0 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^1 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^2 ), which=3 )
> plot( lm( tronco ~ I(dap^2*ht), data=esa, weights=1/(dap^2*ht)^3 ), which=3 )
>

Qual dos valores de potência (0.5; 0; 1; 2; 3) lhe parece mais adequado?

<box left red | Exercício: Modelos de Biomassa para Eucalyptus saligna > Utilizando o mesmo modelo do exemplo acima, ajuste modelos de equação de biomassa para

1. biomassa total (total) e
2. biomassa de ramos (sobra),

de modo que os modelos não possuam problema de heterogeneidade de variância. </box>

Uma forma de incluirmos variáveis categóricas em modelos de regressão é através do uso de variáveis indicadoras. Para isso, as variáveis categóricas no R devem ser vistas como uma variável 'factor'.

A variável 'factor' indica uma variável que possui níveis (levels) sendo, portanto, uma variável categórica típica dos modelos estatísticos.

Esse tipo de variável existe no R para tornar mais fácil a modelagem estatística. Assim, quando o R lê um conjunto de dados e encontra uma variável alfa-numérica, ele automaticamente assume que se trata de uma variável 'factor'.

Vejamos como exemplo os dados de inventário floresta em floresta plantada:

> egr = read.csv("egrandis.csv",header=T)
>
> names(egr)
 [1] "especie" "rot"     "regiao"  "inv"     "faz"     "proj"    "talhao"
 [8] "parcela" "arv"     "fuste"   "cap"     "ht"      "hdom"    "idade"
[15] "carac"   "dap"
> 
> class( egr$regiao )
[1] "factor"
> class( egr$especie )
[1] "factor"
> class( egr$rot )
[1] "integer"
> class( egr$faz )
[1] "integer"
>

Note que as variáveis 'regiao e 'especie' foram assumias como 'factor'.

Note também que as variáveis 'rot' (rotação) e 'faz' (fazenda) embora também sejam variáveis categóricas, elas foram codificadas por números inteiros e, consequentemente, o R assumiu tratar-se de variáveis quantitativas.

Nos modelos lineares de regressão, as variáveis 'factor' podem ser assumidas automaticamente como variáveis indicadoras (variáveis dummy).

> hipso2 = lm( ht ~ dap + regiao, data=egr )
> summary( hipso2 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap + regiao, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-10.6196  -1.6235  -0.3575   1.2476  19.5109

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)     5.079650   0.145714   34.86   <2e-16 ***
dap             1.116119   0.009403  118.70   <2e-16 ***
regiaoBotucatu -3.627353   0.100221  -36.19   <2e-16 ***
regiaoItatinga -3.827592   0.100715  -38.00   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.647 on 4798 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.831,      Adjusted R-squared: 0.8309
F-statistic:  7866 on 3 and 4798 DF,  p-value: < 2.2e-16

Nesse caso ('ht ~ dap + regiao') a variável região entrou alterando o intercepto da regressão entre altura (ht) e diâmetro (dap).

Note que além do coeficiente de inclinação para variável 'dap' aparecem coeficientes de regressão associados às variáveis 'regiaoBotucatu' e 'regiaoItatinga'. O que significa isso?

O modelo ajustado pela fórmula 'ht ~ dap + regiao' é:

<latex>

        h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_2 I_{\textrm{Botucatu}} + \beta_3 I_{\text{Itatinga}} + \varepsilon_i

</latex>

onde:

• <latex>h_i</latex> é a altura das árvores;
• <latex>d_i</latex> é o DAP das árvores;
• <latex>I_{\textrm{Botucatu}}</latex> é a variável indicadora para região Botucatu, isto é, ela tem valor 1 se a região for Botucatu e valor 0 (zero) se a região não for Botucatu;
• <latex>I_{\textrm{Itatinga}}</latex> é a variável indicadora para região Itatinga.

A variável região tem três níveis (levels)

> levels(egr$regiao)
[1] "Bofete"   "Botucatu" "Itatinga"
>                                         

O R cria automaticamente 2 variáveis indicadoras, uma para Botucatu e outra para Itatinga, pois a região de Bofete (primeiro nível do fator) é assumida como o default.

Como se utiliza o modelo para predição?

• Para Bofete a predição é: <latex> \widehat{h}_i = \beta_0 + \beta_2 d_i </latex>
• Para Botucatu a predição é: <latex> \widehat{h}_i = (\beta_0 + \beta_3) + \beta_2 d_i </latex>
• Para Itatinga a predição é: <latex> \widehat{h}_i = (\beta_0 + \beta_4) + \beta_2 d_i </latex>

É possível ajustar um modelo de interação completo do diâmetro com a variável região, alterando o intercepto e a inclinação do modelo em cada regiões:

> 
> hipso3 = lm( ht ~ dap * regiao, data=egr )
> summary( hipso3 )

Call:
lm(formula = ht ~ dap * regiao, data = egr)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max
-12.8439  -1.5492  -0.2357   1.2582  19.3736

Coefficients:
                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)         7.99813    0.20736  38.570  < 2e-16 ***
dap                 0.90370    0.01436  62.935  < 2e-16 ***
regiaoBotucatu     -9.03699    0.25969 -34.799  < 2e-16 ***
regiaoItatinga     -5.74018    0.29200 -19.658  < 2e-16 ***
dap:regiaoBotucatu  0.45060    0.01981  22.750  < 2e-16 ***
dap:regiaoItatinga  0.10746    0.02503   4.293 1.80e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 2.508 on 4796 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.8484,     Adjusted R-squared: 0.8483
F-statistic:  5369 on 5 and 4796 DF,  p-value: < 2.2e-16

Note que se quisermos usar uma variável como indicadora, mas ela foi codificada como variável numérica, teremos que forçar sua transformação em variável 'factor':

 coef( lm( ht ~ dap * rot, data = egr ) )
 (Intercept)          dap          rot      dap:rot
 3.790676759  1.206524873 -1.556650365  0.004740839
>
>
> coef( lm( ht ~ dap * as.factor(rot) , data = egr ) )
        (Intercept)                 dap     as.factor(rot)2 dap:as.factor(rot)2
        2.234026394         1.211265712        -1.556650365         0.004740839

<box 100% left red | Exercício: Altura das Árvores Dominantes em Floresta Plantada > Considere o seguinte modelo (modelo de Schumacher):

<latex>

      \ln( y_i ) = \beta_0 + \beta_1 (1/x_i) + \varepsilon_i

</latex>

Ajuste esse modelo de regressão à altura das árvores dominantes (hdom) em função da idade (idade) das árvores da floresta plantada (dados-egrandis).

Compare um modelo geral (ajustado a todos os dados) com um modelo ajustado por região.

Compare os resíduos do modelo geral com os resíduos do modelo por região, analisando a distribuição do resíduo por região.

</box>

<box 100% left red | Exercício: Relação Altura-Diâmetro de Árvores de Caixeta >

Ajuste modelos de regressão linear da altura ('h') em função do diâmetro ('dap') somente para árvores de caixeta (Tabebuia cassinoides) nos diferentes caixetais ('local').

Considere nessa tarefa os seguintes modelos:

<latex> \begin{array}{ll}

      \textrm{Modelo A:}\quad & h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \varepsilon_i  \\
      \textrm{Modelo B:}\quad & \ln( h_i ) = \beta_0 + \beta_1 \ln(d_i) + \varepsilon_i  \\
      \textrm{Modelo C:}\quad & h_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_2 d_i^2 + \varepsilon_i  \\

\end{array} </latex>

</box>

Os objetivos dos modelos lineares de análise de variância são bem diferentes dos modelos lineares de regressão. Nos modelos de regressão a questão central é estimar parâmetros, seja para explicar relações, seja para fazer predições.

Nos modelos de análise de variância a questão é comparar a importância de fatores sobre o comportamento da variável resposta.

Tomemos como exemplo os dados do experimento de mudas no viveiro (dados-mudas). Nesse experimento temos os seguintes fatores:

• Espécie ('especie'),
• Bloco ('bloco'), e
• Substrtato ('substrato').

O experimento deseja saber se existe diferença entre os substratos no crescimento em altura ('altura') das mudas. O delineamento foi em blocos casualizados ('bloco').

Para visualizar esse experimento podemos ler os dados do arquivo altura-mudas.csv, através da função 'plot':

> 
> mudas = read.csv("dados/altura-mudas.csv",header=T)
> summary(mudas)
     especie       bloco       substrato        altura
 paineira:60   Min.   :1.0   Min.   : 1.0   Min.   : 15.40
 tamboril:60   1st Qu.:2.0   1st Qu.: 3.0   1st Qu.: 32.21
               Median :3.5   Median : 5.5   Median : 46.00
               Mean   :3.5   Mean   : 5.5   Mean   : 49.20
               3rd Qu.:5.0   3rd Qu.: 8.0   3rd Qu.: 65.00
               Max.   :6.0   Max.   :10.0   Max.   :105.12
> 
> 
> plot( altura ~ bloco + substrato , data=mudas , subset=especie=="paineira")
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
> 
> plot( altura ~ bloco + substrato , data=mudas , subset=especie=="tamboril")
Hit <Return> to see next plot:
Hit <Return> to see next plot:
>

Para ajustar um modelo linear num experimento, podemos utilizar a função 'lm' como no caso da regressão linear:

> muda.pai = lm( altura ~ as.factor(bloco) + as.factor(substrato), data=mudas, subset= especie=="paineira" )
> class(muda.pai)
[1] "lm"
>
> muda.tam = lm( altura ~ as.factor(bloco) + as.factor(substrato), data=mudas, subset= especie=="tamboril" )
> class(muda.tam)
[1] "lm"
>    

Para analisar as pressuposições do modelo utilizamos a função 'plot', da mesma forma que se faz na regressão linear.

Sendo um experimento, o interesse principal é verificar a importância dos fatores: os tratamentos ('substrato') e os blocos ('bloco'). Para isso utilizamos a função 'anova':

> anova( muda.pai )
Analysis of Variance Table

Response: altura
                     Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)      5  3822.1   764.4  13.664 4.016e-08 ***
as.factor(substrato)  9 27204.4  3022.7  54.030 < 2.2e-16 ***
Residuals            45  2517.5    55.9
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
> anova( muda.tam )
Analysis of Variance Table

Response: altura
                     Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)      5 2582.6   516.5  5.1933 0.0007594 ***
as.factor(substrato)  9 9181.3  1020.1 10.2570 2.177e-08 ***
Residuals            45 4475.6    99.5
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>          

<box 100% left red | Exercício: Altura dos Caixetais > Verifique se existe diferenças estatísticamente significativas na altura média dos caixetais (caxieta.csv).

Será que os caixetais diferem em termos de altura máxima ou área basal? </box>

Considre o experimento de mudas de espécies arbóreas. Se ao invés de trabalhar com a espécie em duas análises separadas, houvesse interesse em fazer uma análise conjunta das duas espécies, verificando a interação entre espécie e substrato.

Nesse caso, o experimento se torna um experimento fatorial 2 x 10:

> 
> muda.sp = lm( altura ~ as.factor(bloco) + especie * as.factor(substrato), data=mudas )
> anova(muda.sp)
Analysis of Variance Table

Response: altura
                             Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)
as.factor(bloco)              5   3956     791  7.9598 2.673e-06 ***
especie                       1   3183    3183 32.0265 1.606e-07 ***
as.factor(substrato)          9  32910    3657 36.7909 < 2.2e-16 ***
especie:as.factor(substrato)  9   3476     386  3.8853 0.0003163 ***
Residuals                    95   9442      99
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>                                                                                                

No que a fórmula para o experimento é apresentada de modo diferente:

                                 altura ~ as.factor(bloco) + especie * as.factor(substrato)

O elemento especie * as.factor(substrato) inclue todos os efeitos ligados a interação entre espécie e substrato, e que aparecem na tabela de análise de variância:

• especie (com 1 grau de liberdade) se refere ao efeito principal da espécie;
• as.factor(substrato) (com 9 graus de liberdade) se refere ao efeito principal do susbstrato;
• especie:as.factor(substrato) (com 9 graus de liberdade) se refere à interação espécie x substrato.

O elemento chave nessa fórmula é o asterísco ( * ) que representa todos os efeitos ligados a interação entre dois fatores. Como foi dito, na fórmula estatística os sinais convencionais de operações matemáticas tem outro significado. A tabela abaixo detalha os símbolos utilizados para definir diferentes delineamentos experimentais.

<box 45% center orange | Símbolos utilizados nas Fórmulas Estatísticas para definir diferentes Delineamentos Experimentais>

</box>

Aliandas a esses símbolos, o R possui uma série de funções que permitem a análise de virtualmente qualquer delineamento experimental. Esse tópico requer, no entanto, um curso específico de análise experimental utilizando o R, e vai muito além do objetivo desse curso introdutório.

<box 100% left red | Exercício: Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas I > Utilizando os dados de árvores de floresta plantada (dados-egrandis), tome a altura média das árvores dominantes (média de 'hdom' por 'parcela') como variável resposta e verifique a influência dos fatores: região ('regiao') e rotação ('rot').

Para discussão: a relação entre esses fatores deve ser de interação ou hierárquica? </box>

<box 100% left red | Exercício: Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas II > Utilizando os dados de árvores de floresta plantada (dados-egrandis), tome a altura média das árvores dominantes (média de 'hdom' por 'parcela') como variável resposta e verifique a influência dos fatores: região ('regiao') e projeto ('proj').

Para discussão: a relação entre esses fatores deve ser de interação ou hierárquica? </box>

Freqüentemente, a interpretação da interação entre dois ou mais fatores é espinhosa e chegar a conclusões baseado apenas na tabela de análise de variância pode gerar equívocos. Uma análise gráfica de interações é sempre instrutiva.

Existe no R a função 'interaction.plot' que permite construir gráficos de interação entre fatores que facilitam a interpretação dos resultados estatístico. Seus argumentos principais são:

                     function (x.factor, trace.factor, response, fun = mean )

• x.factor é o fator que ficará nas abscissas (eixo-x);
• trace.factor é o fator que será usado para distinguir diferentes linhas no gráfico;
• response é a variável resposta que será grafada nas ordenadas (eixo-y);
• fun é a função da estatística a ser utilizada.

Vejamos a interação entre espécies e substrato no experimento do crescimento de mudas de espécies arbóreas:

> interaction.plot( mudas$substrato, mudas$especie, mudas$altura , col=c("red","blue"))   

<box 100% left red | Exercício: Fatores que Influência a Altura em Florestas Plantadas III > Tomando a altura média das árvores dominantes (média de 'hdom por 'parcela') como variável resposta (dados de árvores de floresta plantada — dados-egrandis), verifique graficamente a interação entre região ('regiao') e rotação ('rot'). </box>

<box 100% left red | Exercício: Variabilidade de Caixetais > Considere os dados do levantamento em três caixetais (dados-caixeta).

Pergunta-se: em qual dos caixetais ('local'), o diâmetro das árvores ('dap') é mais variável entre as parcelas ('parcela') quando se considera:

• diâmetro médio;
• diâmetro mediano;
• diâmetro máximo?

Responda com base numa análise gráfica. </box>

Um aspecto essencial à construção de modelos lineares é a comparação entre modelos.

A função “anova”, apesar do nome, é uma função muito utilizada para comparar modelos lineares que possuam dentro de uma certa hierarquia de modelos.

Vejamos o exemplo de construção de uma equação de biomassa com o seguinte forma:

<box 100% center green> <latex>

      b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \beta_6 (d_i\, h_i^2) + \varepsilon_i 

</latex> </box>

Embora esse seja um modelo muito problemático, ele serve para ilustrar o problema de seleção de modelos. Vejamos o que acontece utilizando os dados de árvores de E. saligna (dados-esaligna):

> biom = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap * ht^2), data=esa )
> summary(biom)

Call:
lm(formula = total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 *
    ht) + I(dap * ht^2), data = esa)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max
-38.670  -7.688  -1.022   8.561  45.191

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)   -51.60332   65.40689  -0.789    0.437
dap             7.68140   11.24405   0.683    0.500
I(dap^2)        0.35420    0.53985   0.656    0.517
ht              7.48430    5.55867   1.346    0.189
I(dap * ht)    -1.42975    0.82821  -1.726    0.095 .
I(dap^2 * ht)   0.03763    0.03461   1.087    0.286
I(dap * ht^2)   0.01105    0.01593   0.694    0.493
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 15.13 on 29 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.9728,     Adjusted R-squared: 0.9672
F-statistic: 172.9 on 6 and 29 DF,  p-value: < 2.2e-16

>         

Veja que nenhuma das variáveis preditoras se mostrou significativa (nível de probabilidade de 5%) para estimar a biomassa total das árvores. Mas esse resultado é razoável?

Vejamos o que a função “anova” nos mostra:

> anova(biom)
Analysis of Variance Table

Response: total
              Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)
dap            1 218121  218121 952.7442 < 2.2e-16 ***
I(dap^2)       1  17791   17791  77.7108 1.063e-09 ***
ht             1    352     352   1.5375   0.22493
I(dap * ht)    1    312     312   1.3648   0.25222
I(dap^2 * ht)  1    816     816   3.5633   0.06911 .
I(dap * ht^2)  1    110     110   0.4811   0.49343
Residuals     29   6639     229
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>

Nesse caso parece que o diâmetro e o diâmetro ao quadrado são significativos, mas os demais termos não. Por que os testes geram resultados diferentes?

As funções “summary” e “anova” realizam testes de forma distinta:

• O teste t da função summary testa cada variável preditora assumindo que todas as demais variáveis já estâo presentes no modelo.
• O teste F da função anova testa as variáveis preditoras na seqüência apresentada no modelo, assumindo que as variáveis anteriores já estavam no modelo.

Desta forma, a função anova realiza teste de um modelo contra outro numa seqüência definida. O mesmo resultado se obtem partindo o modelo original numa série de modelos:

<box 100% green>Modelo 0: <latex> b_i = \beta_0 + \varepsilon_i </latex></box>

<box 100% green>Modelo 1: <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \varepsilon_i </latex></box>

<box 100% green>Modelo 2: <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \varepsilon_i </latex></box>

<box 100% green>Modelo 3: <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \varepsilon_i </latex></box>

<box 100% green>Modelo 4: <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \varepsilon_i </latex></box>

<box 100% green>Modelo 5: <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \varepsilon_i </latex></box>

<box 100% green>Modelo 6: <latex> b_i = \beta_0 + \beta_1 d_i + \beta_ d_i^2 + \beta_3 h_i + \beta_4 (d_i\, h_i) + \beta_5 (d_i^2\, h_i) + \beta_6 (d_i\, h_i^2) + \varepsilon_i </latex></box>

Podemos ajustar esses modelos e utilizar a função anova para testá-los numa seqüência:

> m0 = lm( total ~ 1 , data=esa )
> m1 = lm( total ~ dap , data=esa )
> m2 = lm( total ~ dap + I(dap^2) , data=esa )
> m3 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht , data=esa )
> m4 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht), data=esa )
> m5 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht), data=esa )
> m6 = lm( total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap * ht^2), data=esa )
>
>
> anova(m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6)
Analysis of Variance Table

Model 1: total ~ 1
Model 2: total ~ dap
Model 3: total ~ dap + I(dap^2)
Model 4: total ~ dap + I(dap^2) + ht
Model 5: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht)
Model 6: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht)
Model 7: total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq        F    Pr(>F)
1     35 244142
2     34  26021  1    218121 952.7442 < 2.2e-16 ***
3     33   8230  1     17791  77.7108 1.063e-09 ***
4     32   7878  1       352   1.5375   0.22493
5     31   7565  1       312   1.3648   0.25222
6     30   6749  1       816   3.5633   0.06911 .
7     29   6639  1       110   0.4811   0.49343
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>      

É importante lembrar que a função anova realiza o teste na ordem que os modelos são apresentados, e que isso pode ter forte influência nos resultados obtidos.

> anova( m0, lm(total ~ I(dap^2*ht),data=esa), lm( total ~ I(dap^2*ht) + dap, data=esa) )
Analysis of Variance Table

Model 1: total ~ 1
Model 2: total ~ I(dap^2 * ht)
Model 3: total ~ I(dap^2 * ht) + dap
  Res.Df    RSS Df Sum of Sq       F    Pr(>F)
1     35 244142
2     34  22160  1    221982 473.534 < 2.2e-16 ***
3     33  15470  1      6690  14.272 0.0006292 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>                                                                                   

<box 100% left red | Exercício: Biomassa do Tronco de Árvores de E. saligna > Com base nos modelos apresentados acima, construa vários modelos para biomassa do tronco ('tronco') de E. salgina (dados-esaligna). </box>

<box 100% left red | Exercício: Modelo Polinomial > Construa um modelo polinomial (até quarto grau) da altura ('ht') em função do diâmetro ('dap') de árvores em caixetais (dados-caixeta). Verifique os termos significativos. </box>

Existem várias outras funções para auxiliar na construção e comparação de modelos.

As funções 'add1' e 'drop1' permitem adicionar ou retirar um-a-um os termos dos modelos lineares:

> add1( object = m1, scope = . ~ dap + ht + I(dap*ht) + I(dap^2*ht) , test="F" )
Single term additions

Model:
total ~ dap
              Df Sum of Sq     RSS     AIC F value     Pr(F)
<none>                     26020.8   241.0
ht             1       1.0 26019.7   243.0  0.0013   0.97162
I(dap * ht)    1    2507.0 23513.8   239.3  3.5184   0.06956 .
I(dap^2 * ht)  1   10551.1 15469.6   224.3 22.5077 3.912e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>

> drop1( object = m6, scope = . ~ .,  test="F" )
Single term deletions

Model:
total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
              Df Sum of Sq    RSS    AIC F value   Pr(F)
<none>                     6639.3  201.8
dap            1     106.8 6746.1  200.4  0.4667 0.49993
I(dap^2)       1      98.6 6737.8  200.4  0.4305 0.51693
ht             1     415.0 7054.3  202.0  1.8128 0.18860
I(dap * ht)    1     682.3 7321.5  203.3  2.9801 0.09493 .
I(dap^2 * ht)  1     270.7 6910.0  201.3  1.1824 0.28582
I(dap * ht^2)  1     110.2 6749.4  200.4  0.4811 0.49343
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
>
>
> drop1( object = m6, scope = . ~ dap + ht,  test="F" )
Single term deletions

Model:
total ~ dap + I(dap^2) + ht + I(dap * ht) + I(dap^2 * ht) + I(dap *
    ht^2)
       Df Sum of Sq    RSS    AIC F value  Pr(F)
<none>              6639.3  201.8
dap     1     106.8 6746.1  200.4  0.4667 0.4999
ht      1     415.0 7054.3  202.0  1.8128 0.1886
>                                                                             

Nessas duas funções, o ponto (“.”) na fórmula significa todos os termos do modelo. Ou seja, para um dado modelo, o 'scope' igual a “ . ~ . “ significa todos os termos da fórmula do modelo.

Outras funções úteis para construção e comparação de modelos são:

• “step” que realiza regressão stepwise; e
• “AIC” que calcula o Akaike Information Criterion.

> aic.tab = AIC( m0, m1, m2, m3, m4, m5, m6 )
> aic.tab$AIC.d = abs( c(0, diff(aic.tab$AIC)) )
> aic.tab
   df      AIC      AIC.d
m0  2 423.7551  0.0000000
m1  3 345.1563 78.5987781
m2  4 305.7148 39.4414506
m3  5 306.1411  0.4262982
m4  6 306.6842  0.5430302
m5  7 304.5765  2.1077173
m6  8 305.9841  1.4076291
>  

<box 100% left red | Exercício: Biomassa do Tronco de Árvores de E. saligna II > Utilizando os modelos para biomassa do tronco ('tronco') de E. salgina construidos no exercício acima, utilize as funções drop1 e add1 para analisar a importância dos termos individuais do modelo. </box>

<box 100% left red | Exercício: Relação Altura-Diâmetro em Florestas Plantadas> Utilize a função AIC para analisar a importância das variáveis indicadoras nos modelos de relação altura-diâmetro ajustados para florestas de E. grandis. </box>