Utilizaremos nesse tutorial dados de biomassa de árvores de Eucalyptus saligna do arquivo esaligna.csv.

Para ajustar os modelos utilizaremos a função “mle” que está no pacote “stats4”. Portanto é necessário “carregar” esse pacote.

> library(stats4)
> help(mle)

O modelo mais Gaussiano mais simples é aquele onde pretendemos apenas estimar os parâmetros: média e variância.

Tomemos como exemplo o ajuste dos dados de biomassa total das árvores de E. saligna (variável “total”):

> esa <- read.csv("esaligna.csv",header=T)
> mean(esa$total)
[1] 93.20056
> sd(esa$total)
[1] 83.51936
> -sum( dnorm( esa$total, mean = mean(esa$total), sd = sd(esa$total), log=TRUE) )
[1] 209.8846

Esse modelo, tem como estimativas dos parâmetros: média = 93 e desvio padrão = 83,5. Já a log-verossimilhança negativa é igual a 209.88.

Mesmo sendo um modelo simples, podemos ajustá-lo utilizando a função mle (Maximum Likelihood Estimator). Para isso é bom definirmos uma função que calcula a log-verossimilhança negativa da distribuição Gaussiana (Normal) sobre os dados que possuímos:

nllikGauss <- function(m=90, s=80) -sum(stats::dnorm(esa$total, m, s, log=TRUE))

Para ajustar o modelo com média e desvio padrão constante podemos utilizar essa função:

> gauss01 <- mle( nllikGauss )
>
> class( gauss01 )
[1] "mle"
attr(,"package")
[1] "stats4"
>

O objeto gerado pela função “mle” é um objeto de classe “mle” e pode ser utilizado diretamente em algumas funções como: “summary” e “logLik”.

> summary(gauss01)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss)

Coefficients:
  Estimate Std. Error
m 93.13087  13.736201
s 82.41716   9.724637

-2 log L: 419.7551 

> logLik( gauss01 )
'log Lik.' -209.8776 (df=2)

Note que a função “summary” apresenta as estimativas juntamente com os respectivos erros padrões, mesmo para estimativa do desvio padrão.

A função “profile” gera a verosimilhança perfilhada para os parâmetros do modelo, mas utiliza uma transformação da verossimilhança. Se utilizada diretamente com a função “plot”, gera gráficos diferentes do que desejamos:

> par(mfrow=c(1,2))
> plot( profile(gauss01))

Assim, fizemos a função “plot.profmle” contida no arquivo plot-profmle.r para construir as curvas de verossimilhança perfilhada como desejamos:

> source("plot-profmle.r")
> par(mfrow=c(1,2))                    # Múltiplos gráficos na mesma janela: 1 linha x 2 colunas
> plot.profmle( profile(gauss01) )

Os gráficos apresentam a log-verossimilhança negativa relativa para os dois parâmetros ajustados: média e desivo padrão. Em cada gráfico, é apresentado também o intervalo de verossimilhança para razão de 8 (diferença de log-verossimilhança de $$\ln(8)$$).

Nesse caso da biomassa total das árvores de E. saligna (variável “total”), faz sentido assumir que a biomassa das árvores seja uma função linear do tamanho da árvore, definido por uma expressão simples do diâmetro e da altura da árvore: $$ E[ b_i ] = \beta_0 + \beta_1 (d_i^2\ h_i)$$.

Assim, a média deixa de ser modelada como constante e passa a ser modelada como uma função linear de uma variável preditora.

Para podermos ajustar um modelo onde a média é uma função linear, precisamos definir uma nova função de Log-Verossimilhança Negativa:

>
> nllikGauss2 <- function(b0=0, b1=1, s=80)
+ {
+     m <- b0+b1*(esa$dap^2*esa$ht)
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }

Note que temos agora três parâmetros: $$\beta_0$$ e $$\beta_1$$ definem a função linear da média, como função da variável combinada “(esa$dap^2*esa$ht)”, enquanto que o desvio padrão ($$\sigma$$) permanece constante. Os valores default destes parâmetros na função “nllikGauss2” são usados como “palpites” iniciais pela função de ajuste “mle”.

O ajuste do modelo é realizado da mesma forma pela função “mle”:

> gauss02 <- mle( nllikGauss2 )
Warning message:
NaNs produced in: dnorm(x, mean, sd, log) 
> 

Podemos agora analisar o modelo:

> summary( gauss02 )
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss2)

Coefficients:
      Estimate  Std. Error
b0 11.48592463 5.965541211
b1  0.02638258 0.001388753
s  24.80587697 2.922599110

-2 log L: 333.3746 
> logLik(gauss02)
'log Lik.' -166.6873 (df=3)
> 

E analisar as curvas de verossimilhança perfilhada:

> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( profile(gauss02) )

Note que quando a média é modelada como uma função linear, o valor do desvio padrão se torna bem menor. O que essa redução indica?

Note que ao assumir a média como função linear do tamanho das árvores houve clara melhora na qualidade do modelo, conforme o valor de Log-Verossimilhança mostra:

> logLik(gauss01)
'log Lik.' -209.8776 (df=2)
> 
> logLik(gauss02)
'log Lik.' -166.6873 (df=3)
>
> AIC( gauss01 )
[1] 423.7551
> AIC( gauss02 )
[1] 339.3746
> 

Podemos notar que os coeficientes de regressão são semelhantes aos obtidos pelo forma clássica de ajuste de modelos lineares de regressão.

> 
> summary( gauss02 )
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss2)

Coefficients:
      Estimate  Std. Error
b0 11.48592463 5.965541211
b1  0.02638258 0.001388753
s  24.80587697 2.922599110

-2 log L: 333.3746 
> summary( lm( total ~ I(dap^2*ht), data=esa ) )$coefficients
                 Estimate  Std. Error   t value     Pr(>|t|)
(Intercept)   11.51744130 6.139609524  1.875924 6.927291e-02
I(dap^2 * ht)  0.02637721 0.001429276 18.454952 2.736869e-19
> 

Questões:

• Quanto aos erros-padrão da estimativa (Std. Error), as duas formas

de ajuste geram valores iguais?

• Os Intervalos de Confiança de 95% (use valor de t=2) são semelhantes aos Intervalos de Verossimilhança para razão 8 ? (Veja os gráficos da verossimilhança perfilhada)

• Por que a abordagem tradicional não apresenta uma estimativa de erro-padrão para o parâmetro de escala do modelo (desvio padrão)?

Se observarmos a relação entre biomassa total e o diâmetro (dap) e altura das árvores (ht) veremos que não só a média mas também o desvio padrão cresce com o aumento do tamanho da árvore:

> par(mfrow=c(1,1))
> plot( total ~  I(dap^2*ht) , data = esa )

Assim podemos ajustar um modelo onde média e desvio padrão são funçôes do tamanho da árvore. Para isso, precisamos construir nova função de log-verossimilhança negativa:

> nllikGauss3 <- function(b0=11.5, b1=0.0264, a0 = 1, a1 = 10)
+ {
+     m <- b0+b1*(esa$dap^2*esa$ht)
+     s <-  exp(a0)*(esa$dap^2*esa$ht)^a1
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }
>
> gauss03 <- mle( nllikGauss3 )
>
> summary(gauss03)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss3)

Coefficients:
      Estimate  Std. Error
b0  8.08033272 3.112129304
b1  0.02745385 0.001662557
a0 -0.50721118 0.839555378
a1  0.46608710 0.110849619

-2 log L: 317.2816 
>
> AIC(gauss03)
[1] 325.2816
> 

E podemos analisar a curva de verossimilhança perfilhada para os parâmetros:

> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( profile( gauss03 ) )

Podemos analisar a importância da função que descreve o desvio padrão tentando uma outra função. No exemplo abaixo, temos uma função que relaciona linearmente o desvio padrão com a variável preditora.

> nllikGauss3b <- function(b0=11.5, b1=0.0264, a0 = 1, a1 = 0.5)
+ {
+     m <- b0+b1*(esa$dap^2*esa$ht)
+     s <-  a0 + a1*(esa$dap^2*esa$ht)^(1/2)
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }
>
> gauss03b = mle( nllikGauss3b )
Warning messages:
1: In dnorm(x, mean, sd, log) : NaNs produced
2: In dnorm(x, mean, sd, log) : NaNs produced
3: In dnorm(x, mean, sd, log) : NaNs produced
4: In dnorm(x, mean, sd, log) : NaNs produced
5: In dnorm(x, mean, sd, log) : NaNs produced
6: In dnorm(x, mean, sd, log) : NaNs produced
> summary(gauss03b)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss3b)

Coefficients:
     Estimate  Std. Error
b0 8.05131733 3.108081022
b1 0.02748836 0.001692511
a0 0.66230356 4.333626354
a1 0.44904372 0.129348150

-2 log L: 317.3536 
> logLik(gauss03b)
'log Lik.' -158.6768 (df=4)nllikGauss2 <- function(b0=0, b1=1, s=80)
+ {
+     m <- b0+b1*(esa$dap^2*esa$ht)
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }

> AIC(gauss03b)
[1] 325.3536
> 

Note que nesse caso houve uma certa “reclamação” no ajuste do modelo.

Questão: será que houve mudança marcante na qualidade do ajuste?

Uma outra possibilidade é considerarmos que a relação entre a biomassa lenhosa e a variável combinada (dap^2 * ht) é não linear:

> nllikGauss4 <- function(b0=-2.4, b1=0.86, a0 = 1, a1 = 10)
+ {
+     m <- exp(b0) *(esa$dap^2*esa$ht)^b1
+     s <-  exp(a0)*(esa$dap^2*esa$ht)^a1
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }
> gauss04 = mle( nllikGauss4)
> summary(gauss04)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss4)

Coefficients:
     Estimate Std. Error
b0 -2.2211469 0.43456549
b1  0.8475576 0.05207647
a0 -0.4961932 0.85449723
a1  0.4637592 0.11285970

-2 log L: 316.8159 
> AIC(gauss04)
[1] 324.8159
> 
> plot.profmle( profile(gauss04) )
> 

Questões:

• O que aconteceu com o ajuste do modelo ?
• O que aconteceu com a curva de verossimilhança perfilhada das estimativas dos parâmetros na relação não-linear?

A relação entre a biomassa lenhosa e as duas variáveis preditoras DAP (dap) e altura (ht) pode seguir padrões não-lineares, mas não exatamente a partir da variável combinada (dap^2 * ht). Uma outra possibilidade é uma relação da biomassa lenhosa na forma de potência com as duas variáveis:

$$ b_i = \beta_0 \ d^{\beta_1} \ h^{\beta_2} + \varepsilon_i $$

onde: $$b_i$$ é biomassa lenhosa, $$d_i$$ é o DAP e $$h_i$$ é a altura.

> nllikGauss5 <- function(b0=-1.7, b1=2.44, b2=-0.097 , a0 = 1, a1 = 10)
+ {
+     m <- exp(b0) * esa$dap^b1 * esa$ht^b2
+     s <-  exp(a0)*(esa$dap^2*esa$ht)^a1
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }
> gauss05 = mle( nllikGauss5 )
> summary(gauss05)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss5)

Coefficients:
     Estimate Std. Error
b0 -2.1097557  0.4121886
b1  2.3773290  0.1331821
b2  0.1170000  0.1165928
a0  1.2346432  1.0795785
a1  0.1894190  0.1431096

-2 log L: 293.326 
> AIC(gauss05)
[1] 303.326
> par(mfrow=c(2,3))
> plot.profmle( profile(gauss05) )
>

Questões:

• Como foi o ajuste dessa forma não-linear para a média ?
• O que aconteceu com a curva de verossimilhança perfilhada para os parâmetros do modelo da média ?
• Alguma estimativa se mostra problemática ? Quais seriam as prováveis causas desses problemas ?

O fato de tanto média como desvio padrão variarem em função do tamanho das árvores, sugere que a escala apropriada de modelagem da biomassa possa ser a escala logarítmica. O gráfico na escala logarítmica sugere uma relação linear com variância aproximadamente constante:

> par(mfrow=c(1,1))
> plot( log(total) ~  log(dap^2*ht), data=esa )
> 

Para verificar essa possibilidade, devemos analisar (graficamente) os resíduos do modelo ajustado. Infelizmente, não temos ainda funções que calculem automaticamente valor ajustado e resíduo para modelos ajustados pela função “mle”:

>
> # Primeiro construir um novo 'data.frame' para conter os valores ajustados e resíduo
>
> head(esa)
  arvore classe talhao  dap    ht tronco sobra folha  total
1      6      c     22 19.9 21.50 183.64 20.42  8.57 212.64
2      8      b     23 12.4 15.74  42.29  6.58  2.52  51.40
3      7      c     32 16.5 11.74  60.61 11.35 48.52 120.49
4      8      a     32  9.0  7.72  12.28  9.99 27.67  49.95
5      9      a     32  7.0  6.55  11.86  7.97  7.76  27.61
6      9      b     32 10.5  8.79  26.10  7.48 23.36  56.95
> 
> esa2 <- esa[, c("arvore","dap","ht","total")]
> summary( gauss03b )
> coef( gauss03b )
        b0         b1         a1 
7.93781767 0.02753308 0.46753874 
> 
> g3b.coef <- coef( gauss03b )
> esa2$total.fit <- g3b.coef["b0"] + g3b.coef["b1"] * esa2$dap^2 * esa2$ht
> esa2$total.res <- esa2$total - esa2$total.fit
> 
>
> # Gráfico de dispersão do resíduo contra valor ajustado
>
> par(mfrow=c(1,1))
> plot( esa2$total.fit, esa2$total.res )
> abline(h=0, col="red", lty=2)
> lines(lowess( esa2$total.fit, esa2$total.res ) )
>
>
> # Gráfico Quantil-Quantil (para Normal) dos resíduos
>
> qqnorm( esa2$total.res )
> qqline( esa2$total.res )
> 

O gráfico quantil-quantil sugere que os resíduos ainda não se comportam adequadamente sob a distribuição Gaussiana.

Podemos ajustar o modelo Log-Normal, tomando a variável combinada (dap^2 * ht) como preditora na função da média:

> sd(log(esa2$total))
[1] 1.040294
>
> nllikLGauss <- function(b0=0, b1=1,  slog=1)
+ {
+         mlog <- b0+b1*log(esa$dap^2*esa$ht)
+         -sum(stats::dlnorm(esa$total,mlog,slog,log=T))
+ }
> 
> lgauss01 <- mle( nllikLGauss )
There were 16 warnings (use warnings() to see them)
> warnings()[1]
$`NaNs produced`
dlnorm(x, meanlog, sdlog, log)

> summary(lgauss01)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikLGauss)

Coefficients:
       Estimate Std. Error
b0   -2.3603704 0.37431280
b1    0.8596398 0.04936201
slog  0.3341257 0.03937594

-2 log L: 317.4077 
> 
> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( profile( lgauss01 ) )
There were 50 or more warnings (use warnings() to see the first 50)
> 

Mas podemos as variávei DAP e altura como duas variáveis preditoras na função da média:

> nllikLGauss2 <- function(b0=0, b1=2, b2=1,  slog=1)
+ {
+         mlog <- b0+b1*log(esa$dap) +b2*log(esa$ht)
+         -sum(stats::dlnorm(esa$total,mlog,slog,log=T))
+ }
>> lgauss02 = mle( nllikLGauss2 )
There were 23 warnings (use warnings() to see them)
> summary(lgauss02)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikLGauss2)

Coefficients:
        Estimate Std. Error
b0   -1.70549978 0.32389751
b1    2.43814980 0.16966467
b2   -0.09674273 0.20459420
slog  0.26174926 0.03084571

-2 log L: 299.8304 
> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( profile( lgauss02 ) )
There were 50 or more warnings (use warnings() to see the first 50)
> 

Façamos uma comparação geral dos modelos ajsutados

Questões:

• Qual a importância da forma funcional do modelo que descreve a média?
• Qual a importância da forma funcional do modelo que descreve o desvio padrão?
• Existe diferença quando se muda da distribuição Gaussiana para a LogNormal ?
• A diferença de distribuição independe da forma funcional do modelo da média ?

Trabalhamos em todos os modelos até esse ponto com duas variáveis preditoras: DAP (dap) e altura (ht). Mas qual o desempenho de um modelo mais simples com apenas o DAP como variável preditora. O poder explicativo desse modelo mais simples será tão bom quanto o do modelo com ambas variáveis?

Primeiro a definição da função de log-verossimilhança negativa para o modelo com apenas o DAP baseado na distribuição Gausssiana:

> nllikGauss6 <- function(b0=-1.7, b1=2.44, a0 = 1, a1 = 10)
+ {
+     m <- exp(b0) * esa$dap^b1 
+     s <-  exp(a0)*esa$dap^a1
+     -sum(stats::dnorm(x=esa$total, mean=m, sd=s,log=T))
+ }
>
> gauss06 = mle( nllikGauss6 )
> summary(gauss06)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikGauss6)

Coefficients:
     Estimate Std. Error
b0 -1.9368918  0.3581879
b1  2.4313156  0.1233159
a0  1.1523235  0.9340407
a1  0.6158983  0.3741794

-2 log L: 294.9407 

> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( profile(gauss06) )
>
> AIC(gauss06)
[1] 302.9407
>
> AIC(gauss05)
[1] 303.326
>

Vejamos agora no caso da distribuição LogNormal:

> nllikLGauss3 <- function(b0=0, b1=2,  slog=1)
+ {
+         mlog <- b0+b1*log(esa$dap) 
+         -sum(stats::dlnorm(esa$total,mlog,slog,log=T))
+ } 
> lgauss03 = mle( nllikLGauss3)
Warning messages:
1: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
2: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
3: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
4: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
5: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
6: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
7: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
8: In dlnorm(x, meanlog, sdlog, log) : NaNs produced
> summary(lgauss03)
Maximum likelihood estimation

Call:
mle(minuslogl = nllikLGauss3)

Coefficients:
       Estimate Std. Error
b0   -1.7952928 0.26320775
b1    2.3749425 0.10481196
slog  0.2625627 0.03094190

-2 log L: 300.0533 
> plot.profmle( profile(lgauss03) )
There were 50 or more warnings (use warnings() to see the first 50)
> AIC(lgauss03)
[1] 306.0533
> 
> AIC(lgauss02)
[1] 307.8304
> 

Questão:

• Como os modelos mais simples (apenas com o DAP) se compara aos modelos análogos mais complexos?
• A variável altura (ht) é uma variável importante para a predição da biomassa nesse caso?

Nos exemplos acima, foi visto que em vários modelos a curva de verossimilhança perfilhada se mostrou problemática para vários parâmetros. Esse problema pode ser função do tipo de dado ou do tamanho da amostra.

Vejamos um exemplo com os modelos de relação funcional não-linear para média. Para isso utilizaremos os dados do arquivo “egrandis.csv” com dados de árvores de plantações de Eucalyptus grandis na região central do Estado de São Paulo.

> euca.egr = read.table("egrandis.csv", header=T, as.is=TRUE, sep=";")
> head( euca.egr )
> dim( euca.egr )

Ajustaremos o modelo não-linear do volume de madeira das árvores (“vol”) em função do DAP (“dap”) e altura (“ht”):

$$ E[ vol ] = \exp( \beta_0 ) (dap)^{\beta_1} (ht)^{\beta_2} $$

$$ DP[ vol ] = \exp( \alpha_0 ) (dap^2 ht)^{\alpha_1} $$

Assumindo o conjunto de dados com sendo uma “população”, vamos gerar sub-conjuntos de dados como sendo amostras de diferentes tamanhos: 100, 500 e 1000 árvores:

> N = dim( euca.egr )[1]
> egr.100 = euca.egr[ sample(1:N, 100), ]
> egr.500 = euca.egr[ sample(1:N, 500), ]
> egr.1000 = euca.egr[ sample(1:N, 1000), ]

Definindo a função de log-verossimilhança negativa:

> nllikGauss5.egr <- function(b0=-1.7, b1=2.44, b2=-0.097 , a0 = 1, a1 = 10)
+ {
+     m <- exp(b0) * dap^b1 * ht^b2
+     s <-  exp(a0)*(dap^2*ht)^a1
+     -sum(stats::dnorm(x=vol, mean=m, sd=s,log=T))
+ }

Ajustando o modelo e gerando os perfis dos parâmetros para a amostra $$n = 100$$:

> dap = egr.100$dap
> ht = egr.100$ht
> vol = egr.100$vol
> gauss.100 = mle( nllikGauss5.egr )
> gauss.100.prof = profile( gauss.100 )

Ajustando o modelo e gerando os perfis dos parâmetros para a amostra $$n = 500$$:

> dap = egr.500$dap
> ht = egr.500$ht
> vol = egr.500$vol
> gauss.500 = mle( nllikGauss5.egr )
> gauss.500.prof = profile( gauss.500 )
>

Ajustando o modelo e gerando os perfis dos parâmetros para a amostra $$n = 1000$$:

> dap = egr.1000$dap
> ht = egr.1000$ht
> vol = egr.1000$vol
> gauss.1000 = mle( nllikGauss5.egr )
> gauss.1000.prof = profile( gauss.1000 )
>

Ajustando o modelo e gerando os perfis dos parâmetros para a “população” $$n = N$$:

> dap = euca.egr$dap
> ht = euca.egr$ht
> vol = euca.egr$vol
> gauss.euca = mle( nllikGauss5.egr )
> gauss.euca.prof = profile( gauss.euca )

Produzindo os gráficos do verossimilhança perfilhada para todos os parâmetros:

> par(mfrow=c(2,3))
> plot.profmle( gauss.100.prof )
> par(mfrow=c(2,3))
> plot.profmle( gauss.500.prof )
> par(mfrow=c(2,3))
> plot.profmle( gauss.1000.prof )
> par(mfrow=c(2,3))
> plot.profmle( gauss.euca.prof )

Focalizando especificamente na MLE do parâmetro $$\beta_1$$ (segundo parâmetro):

> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( gauss.100.prof , which=2); title(main="n=100")
> plot.profmle( gauss.500.prof , which=2); title(main="n=500")
> plot.profmle( gauss.1000.prof , which=2); title(main="n=1000")
> plot.profmle( gauss.euca.prof , which=2); title(main="n=N")

Focalizando especificamente na MLE do parâmetro $$\beta_2$$ (terceiro parâmetro):

> par(mfrow=c(2,2))
> plot.profmle( gauss.100.prof , which=3); title(main="n=100")
> plot.profmle( gauss.500.prof , which=3); title(main="n=500")
> plot.profmle( gauss.1000.prof , which=3); title(main="n=1000")
> plot.profmle( gauss.euca.prof , which=3); title(main="n=N")

Questões:

• Qual a influência do tamanho da amostra no valor da MLE obtida?
• Qual a influência do tamanho da amostra sobre a curva de verossimilhança perfilhada? Como isso deve ser interpretado em termos de qualidade da estimatição?
• A influência do tamanho da amostra é a mesma sobre as MLE de todos os parâmetros?

Neste tutorial opcional descrevemos e ajustamos o modelo estatístico que está por trás da análise de variância.

Usaremos os dados do exemplo 12.1 de Zar (1999) ¹⁾, que são medidas de concentração de cálcio plasmático em aves machos e fêmeas, metade das quais foi sorteada para receber um tratamento com um hormônio:

calcium <- c(16.5,18.4,12.7,14,12.8,
             14.5,11,10.8,14.3,10.0,
             39.1,26.2,21.3,35.8,40.2,
             32.0,23.8,28.8,25.0,29.3)
hormonio <- factor(rep(c("NO","YES"),each=10))
sexo <- factor(rep(c("F","M","F","M"),c(5,5,5,5)))

Este experimento tem dois fatores (sexo e tratamento com hormônio), cada um com dois níveis. Na abordagem de teste de significância, uma ANOVA é usada para testar as seguintes hipóteses nulas a respeito dos efeitos dos fatores sobre a variável resposta, que é a concentração de cálcio plasmático:

1. Não há efeito do sexo da ave;
2. Não há efeito do tratamento com o hormônio;
3. Não há interação entre os dois fatores acima.

Como todo teste de significância, a ANOVA tem um modelo subjacente, que fica evidente se lembramos de duas de suas premissas:

1. As amostras vêm de populações estatísticas com variâncias iguais;
2. As amostras vêm de populações estatísticas de medidas com distribuição normal.

Portanto, a variável-resposta está descrita neste modelo como uma variável normal, cuja média é afetada pelos fatores, e a variância (e portanto o desvio-padrão) é constante. Como na variável normal média e desvio-padrão correspondem aos parâmetros, nosso modelo pode ser representado assim:

$$ Y \ ~ \ N(\mu=f(X_i)\ , \ \sigma=c)$$

Uma das maneira de representar o efeito dos fatores sobre o valor esperado da variável-resposta é substituir $$\mu$$ na expressão acima pela média do grupo experimental de cada observação.

Como temos um experimento com dois fatores de dois níveis cada, temos quatro grupos:

> intval <- interaction(hormonio,sexo)
> intval
 [1] NO.F  NO.F  NO.F  NO.F  NO.F  NO.M  NO.M  NO.M  NO.M  NO.M  YES.F YES.F
[13] YES.F YES.F YES.F YES.M YES.M YES.M YES.M YES.M
Levels: NO.F YES.F NO.M YES.M

Cujas médias são:

> medias <- tapply(calcium,intval,mean)
> medias
 NO.F YES.F  NO.M YES.M 
14.88 32.52 12.12 27.78 

Definindo $$Y_{ijcdot}$$ como os valores do grupo experimental definido pelo nível $$i$$ do primeiro fator e nível $$j$$ do segundo fator, nosso modelo torna-se:

$$Y_{ijcdot}\ ~ \ N(\mu=E[Y_{ijcdot}]\ , \ \sigma=c)$$

Onde $$E[Y_{ijcdot}]$$ é o valor esperado, ou a média, de $$Y$$ em cada grupo. Podemos definir uma função de verossimilhança para este modelo da seguinte forma:

LL.m3a <- function(NO.F,YES.F,NO.M,YES.M,sigma){
  intval <- interaction(hormonio,sexo)
  media <- c(NO.F,YES.F,NO.M,YES.M)[intval]
  -sum(dnorm(calcium,mean=media,sd=sigma,log=T))
}

Detalhes sobre esta função estão no fim desta seção.

Agora podemos minimizar esta função com o mle2, usando como valores iniciais as médias dos grupos e o desvio-padrão geral:

library("bbmle") # carrega o pacote, desde que instalado
m3a <- mle2(LL.m3a,start=c(as.list(medias),sigma=sd(calcium)))

Os valores estimados das médias dos grupos correspondem aos valores iniciais, pois os MLEs das médias dos grupos são as médias amostrais:

> coef(m3a)
    NO.F    YES.F     NO.M    YES.M    sigma 
14.88000 32.52000 12.12000 27.78000  4.28002 
> medias
 NO.F YES.F  NO.M YES.M 
14.88 32.52 12.12 27.78 

Vamos inspecionar os perfis de verossimilhança destas estimativas, colocando-os todos no mesmo gráfico. Para isto baixe o código da função plot.prof.aov para seu diretório de trabalho e carregue-o em sua área de trabalho:

source("plot-prof-aov.txt")

E agora podemos avaliar os perfis de verossimilhança dos valores esperados para cada grupo com

m3a.prof <- profile(m3a)
plot.prof.aov(m3a.prof,which=1:4)

Os intervalos de plausibilidade de machos e fêmeas sob o mesmo tratamento de hormônio estão sobrepostos, sugerindo que não haja efeito do sexo, apenas da aplicação do hormônio. Para avaliar isto ajustamos um novo modelo, sem efeito do sexo:

##função de verossimilhança
LL.m2a <- function(NO,YES,sigma){
  media <- c(NO,YES)[hormonio]
  -sum(dnorm(calcium,mean=media,sd=sigma,log=T))
}
##Ajuste
m.horm <- tapply(calcium,hormonio,mean)
m2a <- mle2(LL.m2a,start=list(NO=m.horm[1],YES=m.horm[2],sigma=sd(calcium)))

Os valores estimados correspondem às médias dos grupos:

> m.horm
   NO   YES 
13.50 30.15 
> coef(m2a)
      NO      YES    sigma 
13.49998 30.14997  4.69880 

Não há sobreposição nos intervalos, indicando diferenças nos valores esperados das concentrações de cálcio dos dois grupos, segundo este modelo:

m2a.prof <- profile(m2a)
plot.prof.aov(m2a.prof,which=1:2)

Vamos ainda considerar um modelo mais simples, que descreve a hipótese nula de ausência de efeitos dos dois fatores:

LL.m1a <- function(media,sigma){
  -sum(dnorm(calcium,mean=media,sd=sigma,log=T))
}
m1a <- mle2(LL.m1a,start=list(media=mean(calcium),sigma=sd(calcium)))

Os resultados anteriores indicam um efeito do hormônio. Mas para representar com modelos todas as hipóteses da ANOVA vamos também ajustar o modelo apenas com efeito do sexo:

LL.m4a <- function(F,M,sigma){
  media <- c(F,M)[sexo]
  -sum(dnorm(calcium,mean=media,sd=sigma,log=T))
}
m.sexo <- tapply(calcium,sexo,mean)
m4a <- mle2(LL.m4a,start=list(F=m.sexo[1],M=m.sexo[2],sigma=sd(calcium)))

E agora comparamos os quatro modelos com o AIC corrigido para pequenas amostras:

> AICctab(m1a,m2a,m3a,m4a,delta=T,sort=T,weights=T,
          nobs=length(calcium))
    AICc  df dAICc weight
m2a 126.2 3    0.0 0.821 
m3a 129.2 5    3.1 0.179 
m1a 151.8 2   25.6 <0.001
m4a 153.8 3   27.6 <0.001

O modelo mais plausível é o que descreve as medidas de cálcio como variáveis aleatórias com valores esperados diferentes para o grupo controle e o que recebeu hormônio. Isto indica que não há efeito do sexo nem da interação entre sexo e hormônio. O teste F aponta para a mesma conclusão:

> summary(aov(calcium~hormonio*sexo))
              Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
hormonio       1 1386.11 1386.11 60.5336 7.943e-07 ***
sexo           1   70.31   70.31  3.0706   0.09886 .  
hormonio:sexo  1    4.90    4.90  0.2140   0.64987    
Residuals     16  366.37   22.90                      
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Podemos ir além da ANOVA não só explicitando os modelos que ela usa, como também propondo novos.

Por exemplo, podemos investigar a premissa de igualdade de variâncias com um modelo em que cada nível do fator hormônio pode ter um desvio-padrão diferente:

## Função para calculo do MLE do desvio-padrão
sd.mle <- function(x){sqrt((var(x)*(length(x)-1))/length(x))}
## MLEs dos desvios de cada grupo
sigma.horm <- tapply(calcium,hormonio,sd.mle)
##Função de verossimilhança
LL.m5a <- function(NO,YES,sigma.NO,sigma.YES){
  media <- c(NO,YES)[hormonio]
  sigma <- c(sigma.NO,sigma.YES)[hormonio]
  -sum(dnorm(calcium,mean=media,sd=sigma,log=T))
}
## Ajuste do modelo
m5a <- mle2(LL.m5a,start=list(NO=m.horm[1],
                     YES=m.horm[2],
                     sigma.NO=sigma.horm[1],
                     sigma.YES=sigma.horm[2]))

Os valores estimados dos parâmetros correspondem às estimativas obtidas das amostras, que foram usadas como valores iniciais no ajuste:

> coef(m5a)
       NO       YES  sigma.NO sigma.YES 
13.500000 30.150000  2.486367  6.162533 
> m.horm
   NO   YES 
13.50 30.15 
> sigma.horm
      NO      YES 
2.486363 6.162508 

E os perfis de verossimilhança mostram que a precisão das estimativas das médias melhorou um pouco

m5a.prof <- profile(m5a)
plot.prof.aov(m5a.prof,which=1:2)

E que os intervalos de plausibilidade para as estimativas dos desvios-padrão estão ligeiramente sobrepostos:

plot.prof.aov(m5a.prof,which=3:4,legenda="bottomright")

Apesar disto, o AICc indica que este modelo é mais plausível do que o anteriormente selecionado:

> AICctab(m1a,m2a,m3a,m4a,m5a,delta=T,sort=T,weights=T,
          nobs=length(calcium))
    AICc  df dAICc weight
m5a 122.0 4    0.0 0.8668
m2a 126.2 3    4.1 0.1094
m3a 129.2 5    7.2 0.0238
m1a 151.8 2   29.8 <0.001
m4a 153.8 3   31.8 <0.001

Neste tutorial criamos funções de verossimilhança no R para modelos que têm fatores como variáveis preditoras como proposto no capítulo 9 de Bolker (2008)²⁾.

A ideia é usar a indexação para criar um vetor que indica um valor esperado diferente para cada grupo. Nesta função, o valor do argumento mean da função de densidade da normal é substituído por quatro parâmetros (NO.F,YES.F,NO.M,YES.M), que representam os valores esperados de cada grupo experimental. Isto é feito na terceira linha da função:

media <- c(NO.F,YES.F,NO.M,YES.M)[intval]''

Para entender como isto funciona, veja o que ocorre com os comandos:

intval <- interaction(hormonio,sexo)
intval
medias <- tapply(calcium,intval,mean)
medias
medias[intval]
data.frame(hormonio,sexo,calcium,medias[intval])

Uma outra maneira de parametrizar o modelo da ANOVA é definir $$\mu$$ como uma relação linear:

$$\mu \ = \ a + b_1X_1 + b_2X_2 + b_3X_1X_2$$

Onde a variável preditora $$X_1$$ é o fator hormônio, com valor $$X_1=0$$ para as aves que não receberam hormônio, e $$X_1=1$$ para as que receberam. Da mesma forma, $$X_2=0$$ para fêmeas $$X_2=1$$ para machos.

Desta maneira, o valor esperado para as fêmeas que não receberam o hormônio será o intercepto da equação linear:

$$\mu_{F.N} \ = \ a \ + \ b_1 times 0 \ + \ b_2 times 0 \ + \ b_3 times 0 times 0 = a$$

Do mesmo modo, o valor esperado para fêmeas que receberam hormônio será

$$\mu_{F.Y} \ = \ a \ + \ b_1 times 1 \ + \ b_2 times 0 \ + \ b_3 times 1 times 0 = a + b_1$$

Portanto $$b_1$$ representa a diferença entre a média das fêmeas que não receberam o hormônio e a das fêmeas que receberam. Em outras palavras, é o quanto o tratamento com hormônio acrescenta ao valor esperado, ou o efeito deste tratamento.

Da mesma forma, $$b_2$$ é o efeito do sexo masculino. Por fim, o parâmetro $$b_3$$ permite que o efeito dos dois fatores combinados seja diferente da soma dos efeitos de cada fator, o que configura uma interação entre fatores:

$$\mu_{M.Y} \ = \ a + b_1+b_2+b_3$$

Para ajustar este modelo no R usamos:

## Diferencas entre as medias
d.horm <- diff(m.sexo)
d.sexo <- diff(m.horm)
##Função de verossimilhança
LL.m3b <- function(intercepto,e.horm,e.sex,int,sigma){
  media <- intercepto+e.horm*(hormonio=="YES")+e.sex*(sexo=="M")+
    int*(hormonio=="YES"&sexo=="M")
  -sum(dnorm(calcium,mean=media,sd=sigma,log=T))
}
##Ajuste do modelo
m3b <- mle2(LL.m3b,start=list(intercepto=mean(calcium[hormonio=="NO"&sexo=="F"]),
                   e.horm=d.horm,e.sex=d.sexo,int=0,
                   sigma=sd(calcium)))

Neste tipo de modelo, se um intervalo de verossimilhança de um parâmetro inclui o zero, é plausível que este efeito seja nulo. Verifique isto para o modelo ajustado acima com:

m3b.prof <- profile(m3b)
par(mfrow=c(3,2))
plot.profmle(m3b.prof)

A conclusões são coerentes com as obtidas com a parametrização anterior? Vamos comparar os MLEs dos mesmos modelos com os dois tipos de parametrização:

> cf.m3b <- coef(m3b)
> cf.m3b
intercepto     e.horm      e.sex        int      sigma 
 14.880142  17.639741  -2.760148  -1.979652   4.280016 

Para fêmeas que receberam hormônio, o modelo de efeitos prevê um valor esperado de

> as.numeric(cf.m3b[1]+cf.m3b[2])
[1] 32.51988

Você vê a correspondência entre os dois modelos? Compare com as estimativas dos parâmetros obtidas para o mesmo modelo, na seção anterior:

> cf.m3a <- coef(m3a)
> cf.m3a
    NO.F    YES.F     NO.M    YES.M    sigma 
14.88000 32.52000 12.12000 27.78000  4.28002 

A parametrização dos modelos como efeitos aditivos que descrevemos acima é a usada no R para modelos lineares com variáveis preditoras contínuas ou categóricas não ordenadas.

Verifique isto comparando os coeficientes obtidos acima para o modelo com interação com os obtidos com

summary(lm(calcium~hormonio*sexo))

A função mle2 aceita a mesma notação de fórmula estatística do R, como usado no comando lm acima.

Compare os resultados dos ajustes do modelo com interação com este novo modelo:

m3c <- mle2(calcium~dnorm(mean=media, sd=sigma),
            parameters=list(media~hormonio*sexo,sigma~1),
            start=list(media=mean(calcium),sigma=sd(calcium)))

Procure refazer os passos apresentados no tutorial para outras variáveis de biomassa das árvores (presentes no mesmo conjunto de dados):

• tronco - biomassa do tronco das árvores:
• folha - biomassa das folhas das árvores.

1. Ajuste todos os modelos da primeira seção do tutorial sobre ANOVA usando a notação de fórmula estatística da função mle2.
2. Use estes modelos ajustados para refazer a seleção de modelos com o AIC corrigido para pequenas amostras.

• Slides da Aula de 2007
• Batista, J.L.F. (2009). Inferência em Recursos Florestais e Ecologia: A Abordagem da Verossimilhança. Resumo de Palestra, Eslaq, Piracicaba. pdf. A Aula de 2009 segue basicamente o roteiro desta palestra.

Indique os itens do tutorial e do texto prioritários para a discussão aqui